Kans berekenen

Zo bereken je een kans

1. Kies bij Berekening het soort vraagstuk: Eén gebeurtenis (gunstig ÷ mogelijk), Complement (niet A), Twee gebeurtenissen (A en B, A of B), Voorwaardelijke kans (regel van Bayes), Minstens één succes in n pogingen, Binomiale verdeling, Odds naar kans of Kans naar odds.
2. Vul de velden in. Kansen kun je typen als breuk (1/6), decimaal getal (0,25) of percentage (25%). Aantallen zoals n – aantal pogingen moeten gehele getallen zijn.
3. Kies bij twee gebeurtenissen het Verband tussen A en B: Onafhankelijk, Elkaar uitsluitend of Ik ken P(A en B). Geef bij odds aan of het Odds vóór (in het voordeel) of Odds tegen zijn. Odds typ je als 3:2 of 3 tegen 2.
4. De resultaten worden bijgewerkt terwijl je typt (de knop Berekenen doet hetzelfde). Elk resultaat staat er als exacte Breuk, als Decimaal getal en als Procent, en Stap voor stap toont de formule met jouw getallen. Kopiëren kopieert de resultatentabel als tekst.

De tool rekent met exacte breuken: 1/6 blijft 1/6 in plaats van 0,1666… te worden, dus het antwoord op ‘minstens één zes in vier worpen’ is precies 671/1296. Wordt een breuk te lang om te lezen, dan wordt alleen het decimale getal getoond.

De gebruikte formules

• Eén gebeurtenis: P(A) = gunstige uitkomsten ÷ mogelijke uitkomsten, als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.
• Complement: P(niet A) = 1 − P(A).
• Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A en B) = P(A) × P(B).
• Elkaar uitsluitende gebeurtenissen: P(A en B) = 0, dus P(A of B) = P(A) + P(B).
• Somregel (willekeurige gebeurtenissen): P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B).
• Voorwaardelijke kans: P(A | B) = P(A en B) ÷ P(B).
• Regel van Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), met P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | niet A) × P(niet A).
• Minstens één succes: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Binomiale verdeling: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, met gemiddelde np en variantie np(1 − p).
• Odds: odds vóór a:b geven P = a ÷ (a + b); odds tegen a:b geven P = b ÷ (a + b).

De regel van Bayes en de 2 × 2-tabel

De Bayes-modus is gemaakt voor vragen als: ‘een test heeft een sensitiviteit van 95% en 5% vals-positieven, en 1% van de mensen heeft de aandoening: hoe groot is de kans dat een positieve uitslag terecht is?’ Vul P(A) – a-priorikans (basisfrequentie) = 1% in, P(B | A) – percentage terecht positief = 95% en P(B | niet A) – percentage vals positief = 5%. Het antwoord, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1%, verrast de meeste mensen: omdat de aandoening zeldzaam is, zijn er meer vals-positieve dan terecht-positieve uitslagen. De 2 × 2-tabel van gezamenlijke kansen toont alle vier de combinaties (A en B, A en niet B, niet A en B, niet A en niet B) met hun totalen, en de stappen vertalen dit naar natuurlijke frequenties op 10.000 mensen.

Binomiale resultaten en grote aantallen

De binomiale modus geeft P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) en P(X ≥ k) tegelijk, plus het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking. Tot 1.000 pogingen wordt elke waarde exact berekend met grote gehele getallen. Van 1.001 tot 100.000 pogingen schakelt de tool over op rekenen met drijvende komma in logaritmische ruimte en vermeldt dat in de stappen; de resultaten zijn dan nauwkeurige benaderingen. De modus ‘minstens één succes’ accepteert tot 1.000.000 pogingen en vertelt je ook hoeveel pogingen nodig zijn voor 50% en 95% kans op minstens één succes.