Calcolatrice di probabilità

Come usare la calcolatrice di probabilità

1. Scegli il tipo di problema in Calcolo: Evento singolo (favorevoli ÷ possibili), Complementare (non A), Due eventi (A e B, A o B), Probabilità condizionata (teorema di Bayes), Almeno un successo in n prove, Distribuzione binomiale, Quote in probabilità oppure Probabilità in quote.
2. Compila i campi. Le probabilità si possono scrivere come frazione (1/6), decimale (0,25, con la virgola o con il punto) o percentuale (25%). I conteggi come n – numero di prove devono essere numeri interi.
3. Per due eventi scegli la Relazione tra A e B: Indipendenti, Incompatibili (mutuamente esclusivi) oppure Conosco P(A e B). Per le quote indica se sono Quote a favore o Quote contro.
4. I risultati si aggiornano mentre scrivi (il pulsante Calcola fa la stessa cosa). Ogni risultato compare come Frazione esatta, come Decimale e come Percentuale, e Passo per passo mostra la formula con i tuoi numeri. Copia copia la tabella dei risultati come testo.

Lo strumento lavora con frazioni esatte: 1/6 resta 1/6 invece di diventare 0,1666…, quindi la risposta a “almeno un sei in quattro lanci” è esattamente 671/1296. Quando una frazione diventa troppo lunga da leggere, viene mostrato solo il decimale.

Le formule usate

• Evento singolo: P(A) = casi favorevoli ÷ casi possibili, quando tutti i casi sono ugualmente probabili.
• Complementare: P(non A) = 1 − P(A).
• Eventi indipendenti: P(A e B) = P(A) × P(B).
• Eventi incompatibili: P(A e B) = 0, quindi P(A o B) = P(A) + P(B).
• Regola della somma (eventi qualsiasi): P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B).
• Probabilità condizionata: P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B).
• Teorema di Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), con P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × P(non A).
• Almeno un successo: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Distribuzione binomiale: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con media np e varianza np(1 − p).
• Quote: quote a favore a:b danno P = a ÷ (a + b); quote contro a:b danno P = b ÷ (a + b).

Le quote si scrivono come 3:2, 3-2 oppure 3 a 2; un numero da solo, come 4, vale 4:1.

Teorema di Bayes e tabella 2 × 2

La modalità Bayes è pensata per domande come: “un test ha una sensibilità del 95% con il 5% di falsi positivi, e l‘1% delle persone ha la malattia: qual è la probabilità che un risultato positivo sia un vero positivo?” Inserisci P(A) – a priori (prevalenza) = 1%, P(B | A) – tasso di veri positivi = 95% e P(B | non A) – tasso di falsi positivi = 5%. La risposta, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1%, sorprende quasi tutti: siccome la malattia è rara, i falsi positivi sono più numerosi di quelli veri. La Tabella 2 × 2 delle probabilità congiunte mostra le quattro combinazioni (A e B, A e non B, non A e B, non A e non B) con i totali, e i passaggi riformulano tutto in frequenze naturali su 10.000 persone.

Risultati binomiali e numeri grandi

La modalità binomiale dà insieme P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) e P(X ≥ k), più media, varianza e deviazione standard. Fino a 1000 prove ogni valore è calcolato in modo esatto con interi grandi. Da 1001 a 100.000 prove lo strumento passa all’aritmetica in virgola mobile su scala logaritmica e lo segnala nei passaggi; i risultati sono allora approssimazioni accurate. La modalità “almeno un successo” accetta fino a 1.000.000 di prove e ti dice anche quante prove servono per avere il 50% e il 95% di probabilità di almeno un successo.