Utilia
Categorieën ▾
Taal: nl ▾

Permutaties en combinaties berekenen

Bereken permutaties (nPr), combinaties (nCr), faculteiten, herhalingen en anagrammen exact, met formules stap voor stap en een lijst van de gevallen.

Gehele getallen van 0 tot 10.000.

Resultaat

–

Stap voor stap

De gevallen opsommen

Scheid de elementen met komma's of spaties: n is hun aantal en r komt uit het veld hierboven. Maximaal 50 elementen en r ≤ 20; de eerste 500 gevallen worden getoond.

    Zo gebruik je de rekenmachine voor permutaties en combinaties

    1. Kies bij Wat wil je tellen? het soort telling: Permutaties nPr (volgorde telt), Combinaties nCr (volgorde telt niet), Permutaties met herhaling (n^r), Combinaties met herhaling, Faculteit n!, Permutaties van een multiset (herhaalde elementen) of Driehoek van Pascal.
    2. Vul het Totaal aantal elementen (n) in en, als daarom gevraagd wordt, de Gekozen elementen (r). Voor een multiset typ je in Woord of groepsgroottes een woord zoals MISSISSIPPI of de groottes van de groepen gelijke elementen (3 2 1).
    3. Het resultaat verschijnt terwijl je typt; Berekenen doet hetzelfde, Wissen maakt de velden leeg en Kopiëren kopieert het resultaat met de notatie, bijvoorbeeld C(10, 3) = 120.
    4. Stap voor stap toont de formule, de formule met jouw getallen, het vereenvoudigde product en de eindwaarde.
    5. Open De gevallen opsommen, typ je Elementen (bijvoorbeeld a, b, c, d) en klik op Opsommen om de echte rangschikkingen of groepen te zien. De eerste 500 gevallen worden getoond.

    Elk resultaat is een exact geheel getal, berekend met gehele getallen van willekeurige precisie. n en r kunnen tot 10.000 gaan: 10.000! heeft 35.660 cijfers en wordt volledig uitgeschreven, samen met een benadering in wetenschappelijke notatie en het aantal cijfers.

    Welke formule heb je nodig?

    Twee vragen beslissen het: telt de volgorde, en mag een element vaker dan één keer gebruikt worden?

    Situatie Volgorde telt Formule Voorbeeld
    Geen herhaling ja P(n, r) = n! / (n − r)! podium van 3 uit 10 lopers: 720
    Geen herhaling nee C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 getallen uit 49: 13.983.816
    Herhaling toegestaan ja n^r pincode van 4 cijfers: 10⁴ = 10.000
    Herhaling toegestaan nee C(n + r − 1, r) 3 bolletjes uit 5 smaken: 35
    Alle elementen, allemaal verschillend ja n! 5 boeken ordenen: 120
    Alle elementen, sommige gelijk ja n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagrammen van MISSISSIPPI: 34.650

    Een permutatie is een geordende keuze: ABC en CAB zijn verschillend. Een combinatie is een verzameling: {A, B, C} is dezelfde groep, in welke volgorde dan ook. Daarom geldt C(n, r) = P(n, r) / r!: elke groep van r elementen kan op r! manieren geordend worden.

    De driehoek van Pascal

    Elk getal in de driehoek van Pascal is de som van de twee getallen erboven: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Rij n bevat C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), de coëfficiënten van (a + b)ⁿ, en de som ervan is 2ⁿ, het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen. De rekenmachine tekent de hele driehoek tot en met rij 20 en toont een losse rij tot en met rij 200.

    Tips

    • De rekenmachine gebruikt de symmetrie C(n, r) = C(n, n − r) om de vermenigvuldiging kort te houden: C(100, 97) wordt berekend als C(100, 3).
    • 0! = 1 per definitie, dus C(n, 0) = C(n, n) = 1 en P(n, 0) = 1.
    • Met herhaling mag r groter zijn dan n (een code van 6 tekens uit 2 symbolen); zonder herhaling mag r niet groter zijn dan n.

    Veelgestelde vragen

    Wat is het verschil tussen nPr en nCr?

    nPr telt geordende rangschikkingen en nCr ongeordende groepen. Een voorzitter, secretaris en penningmeester kiezen uit 10 personen geeft P(10, 3) = 720; een commissie van 3 kiezen geeft C(10, 3) = 120, zes keer minder, omdat elke commissie op 3! = 6 manieren geordend kan worden.

    Hoe tel ik de anagrammen van een woord?

    Kies Permutaties van een multiset (herhaalde elementen) en typ het woord. De letters worden geteld zonder op hoofdletters te letten, en het resultaat is n! gedeeld door de faculteit van het aantal van elke letter. LETTER geeft 6! / (2! × 2!) = 180.

    Waarom is de lijst beperkt?

    Het aantal gevallen groeit extreem snel: 10 elementen hebben al 3.628.800 volgordes. De lijst toont maximaal 500 gevallen, uit hoogstens 50 elementen met r tot 20, en vermeldt hoeveel er in totaal zijn.

    Hoe groot mogen de getallen zijn?

    n en r gaan tot 10.000. Het resultaat is altijd exact; boven 15 cijfers worden ook een benadering zoals 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (voor 100!) en het aantal cijfers getoond.

    Hoe bereken ik mijn kans in de loterij?

    Gebruik combinaties: een 6-uit-49-loterij heeft C(49, 6) = 13.983.816 mogelijke loten, dus één lot heeft een kans van 1 op 13.983.816 om alle zes getallen goed te hebben.

    Vergelijkbare tools