Αριθμομηχανή πιθανοτήτων

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή πιθανοτήτων

1. Διαλέξτε τον τύπο του προβλήματος στο πεδίο Υπολογισμός: Ένα ενδεχόμενο (ευνοϊκά ÷ δυνατά), Συμπληρωματικό (όχι Α), Δύο ενδεχόμενα (Α και Β, Α ή Β), Δεσμευμένη πιθανότητα (θεώρημα του Μπέιζ), Τουλάχιστον μία επιτυχία σε n δοκιμές, Διωνυμική κατανομή, Από odds σε πιθανότητα ή Από πιθανότητα σε odds.
2. Συμπληρώστε τα πεδία. Τις πιθανότητες μπορείτε να τις γράψετε ως κλάσμα (1/6), ως δεκαδικό (0,25) ή ως ποσοστό (25%). Τα πλήθη, όπως το n – πλήθος δοκιμών, πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί.
3. Για δύο ενδεχόμενα, επιλέξτε τη Σχέση μεταξύ Α και Β: Ανεξάρτητα, Ασυμβίβαστα ή Γνωρίζω την P(Α και Β). Για τα odds, δηλώστε αν είναι Odds υπέρ ή Odds κατά.
4. Τα αποτελέσματα ενημερώνονται καθώς πληκτρολογείτε (το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο). Κάθε αποτέλεσμα εμφανίζεται ως ακριβές Κλάσμα, ως Δεκαδικός και ως Ποσοστό, ενώ το Βήμα προς βήμα δείχνει τον τύπο με τους δικούς σας αριθμούς. Η Αντιγραφή αντιγράφει τον πίνακα των αποτελεσμάτων ως κείμενο.

Το εργαλείο δουλεύει με ακριβή κλάσματα: το 1/6 μένει 1/6 αντί να γίνει 0,1666…, οπότε η απάντηση στο «τουλάχιστον ένα έξι σε τέσσερις ρίψεις» είναι ακριβώς 671/1296. Όταν ένα κλάσμα γίνεται υπερβολικά μακρύ για να διαβαστεί, εμφανίζεται μόνο ο δεκαδικός. Όλα γίνονται στο πρόγραμμα περιήγησής σας και τίποτα από όσα πληκτρολογείτε δεν στέλνεται σε διακομιστή.

Τα odds (λόγος πιθανοτήτων) γράφονται ως «3:2», «3-2», «3 προς 2» ή «3to2». Αναγνωρίζεται επίσης η λέξη «προς» και η αντίστοιχη λέξη των άλλων γλωσσών του ιστότοπου.

Οι τύποι που χρησιμοποιούνται

• Ένα ενδεχόμενο: P(Α) = ευνοϊκά αποτελέσματα ÷ δυνατά αποτελέσματα, όταν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.
• Συμπληρωματικό: P(όχι Α) = 1 − P(Α).
• Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: P(Α και Β) = P(Α) × P(Β).
• Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: P(Α και Β) = 0, άρα P(Α ή Β) = P(Α) + P(Β).
• Προσθετικός κανόνας (οποιαδήποτε ενδεχόμενα): P(Α ή Β) = P(Α) + P(Β) − P(Α και Β).
• Δεσμευμένη πιθανότητα: P(Α | Β) = P(Α και Β) ÷ P(Β).
• Θεώρημα του Μπέιζ: P(Α | Β) = P(Β | Α) × P(Α) ÷ P(Β), με P(Β) = P(Β | Α) × P(Α) + P(Β | όχι Α) × P(όχι Α).
• Τουλάχιστον μία επιτυχία: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Διωνυμική κατανομή: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, με μέση τιμή np και διασπορά np(1 − p).
• Odds: τα odds υπέρ a:b δίνουν P = a ÷ (a + b)· τα odds κατά a:b δίνουν P = b ÷ (a + b).

Το θεώρημα του Μπέιζ και ο πίνακας 2 × 2

Η λειτουργία Μπέιζ φτιάχτηκε για ερωτήματα όπως: «ένα τεστ έχει ευαισθησία 95% και ποσοστό ψευδώς θετικών 5%, ενώ το 1% των ανθρώπων έχει την πάθηση: ποια είναι η πιθανότητα ένα θετικό αποτέλεσμα να είναι αληθώς θετικό;». Εισαγάγετε P(Α) – εκ των προτέρων (βασική συχνότητα) = 1%, P(Β | Α) – ποσοστό αληθώς θετικών = 95% και P(Β | όχι Α) – ποσοστό ψευδώς θετικών = 5%. Η απάντηση, P(Α | Β) = 19/118 ≈ 16,1%, εκπλήσσει τους περισσότερους: επειδή η πάθηση είναι σπάνια, τα ψευδώς θετικά είναι περισσότερα από τα αληθώς θετικά. Ο Πίνακας 2 × 2 κοινών πιθανοτήτων δείχνει και τους τέσσερις συνδυασμούς (Α και Β, Α και όχι Β, όχι Α και Β, όχι Α και όχι Β) με τα σύνολά τους, ενώ τα βήματα τους αναδιατυπώνουν ως φυσικές συχνότητες στις 10.000.

Διωνυμικά αποτελέσματα και μεγάλοι αριθμοί

Η διωνυμική λειτουργία δίνει μαζί τις P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) και P(X ≥ k), καθώς και τη μέση τιμή, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Έως 1.000 δοκιμές κάθε τιμή υπολογίζεται με ακρίβεια, με μεγάλους ακέραιους. Από 1.001 έως 100.000 δοκιμές το εργαλείο περνά σε αριθμητική κινητής υποδιαστολής σε λογαριθμικό χώρο και το αναφέρει στα βήματα· τα αποτελέσματα είναι τότε ακριβείς προσεγγίσεις. Η λειτουργία «τουλάχιστον μία επιτυχία» δέχεται έως 1.000.000 δοκιμές και σας λέει επίσης πόσες δοκιμές χρειάζονται για πιθανότητα 50% και 95% να υπάρξει τουλάχιστον μία επιτυχία.