Calculadora de probabilidades

Como usar a calculadora de probabilidades

1. Escolhe o tipo de problema em Cálculo: Acontecimento simples (favoráveis ÷ possíveis), Complementar (não A), Dois acontecimentos (A e B, A ou B), Probabilidade condicionada (teorema de Bayes), Pelo menos um sucesso em n provas, Distribuição binomial, Odds para probabilidade ou Probabilidade para odds.
2. Preenche os campos. As probabilidades podem ser escritas como fração (1/6), decimal (0,25) ou percentagem (25%). Contagens como n – número de provas têm de ser números inteiros.
3. Para dois acontecimentos, escolhe a Relação entre A e B: Independentes, Mutuamente exclusivos ou Conheço P(A e B). Para odds, indica se são Odds a favor ou Odds contra. As odds escrevem-se como 3:2, 3 para 2 ou 3 a 2.
4. Os resultados atualizam-se enquanto escreves (o botão Calcular faz o mesmo). Cada resultado aparece como Fração exata, Decimal e Percentagem, e o Passo a passo mostra a fórmula com os teus números. Copiar copia a tabela de resultados como texto.

A ferramenta trabalha com frações exatas: 1/6 continua a ser 1/6 em vez de passar a 0,1666…, por isso a resposta a «pelo menos um seis em quatro lançamentos» é exatamente 671/1296. Quando uma fração fica demasiado comprida para ler, só é mostrado o decimal.

As fórmulas utilizadas

• Acontecimento simples: P(A) = casos favoráveis ÷ casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis (lei de Laplace).
• Complementar: P(não A) = 1 − P(A).
• Acontecimentos independentes: P(A e B) = P(A) × P(B).
• Acontecimentos mutuamente exclusivos (incompatíveis): P(A e B) = 0, logo P(A ou B) = P(A) + P(B).
• Regra da adição (quaisquer acontecimentos): P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B).
• Probabilidade condicionada: P(A | B) = P(A e B) ÷ P(B).
• Teorema de Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), com P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | não A) × P(não A).
• Pelo menos um sucesso: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Distribuição binomial: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, com valor médio np e variância np(1 − p).
• Odds: odds a favor a:b dão P = a ÷ (a + b); odds contra a:b dão P = b ÷ (a + b).

Teorema de Bayes e a tabela 2 × 2

O modo Bayes foi pensado para perguntas como: «um teste tem 95 % de sensibilidade e 5 % de falsos positivos, e 1 % das pessoas tem a doença: qual é a probabilidade de um resultado positivo ser um verdadeiro positivo?» Introduz P(A) – probabilidade a priori (prevalência) = 1%, P(B | A) – taxa de verdadeiros positivos = 95% e P(B | não A) – taxa de falsos positivos = 5%. A resposta, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1 %, surpreende a maioria das pessoas: como a doença é rara, os falsos positivos são mais numerosos do que os verdadeiros. A Tabela 2 × 2 de probabilidades conjuntas mostra as quatro combinações (A e B, A e não B, não A e B, não A e não B) com os totais, e os passos reescrevem tudo como frequências naturais em 10 000 pessoas.

Resultados binomiais e números grandes

O modo binomial dá em conjunto P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) e P(X ≥ k), além do valor médio, da variância e do desvio padrão. Até 1000 provas, todos os valores são calculados de forma exata com inteiros grandes. De 1001 a 100 000 provas, a ferramenta passa a usar aritmética de vírgula flutuante em escala logarítmica e indica-o nos passos; os resultados são então aproximações precisas. O modo «pelo menos um sucesso» aceita até 1 000 000 de provas e diz-te também quantas provas são necessárias para ter 50 % e 95 % de probabilidade de pelo menos um sucesso.