Calculateur de probabilités

Comment calculer une probabilité avec cet outil

1. Choisissez le type de problème dans Calcul : Événement simple (cas favorables ÷ cas possibles), Événement contraire (non A), Deux événements (A et B, A ou B), Probabilité conditionnelle (formule de Bayes), Au moins un succès en n essais, Loi binomiale, Cote vers probabilité ou Probabilité vers cote.
2. Remplissez les cases. Une probabilité s’écrit en fraction (1/6), en décimal (0,25) ou en pourcentage (25 %). Les effectifs, comme n – nombre d’essais, sont des nombres entiers.
3. Pour deux événements, précisez le Lien entre A et B : Indépendants, Incompatibles ou Je connais P(A et B). Pour une cote, indiquez si elle est En faveur (pour) ou Contre.
4. Les résultats s’affichent pendant la saisie (le bouton Calculer fait de même). Chacun est donné en Fraction exacte, en Décimal et en Pourcentage, et la partie Calcul détaillé reprend la formule avec vos valeurs. Copier copie le tableau des résultats.

L’outil calcule en fractions exactes : 1/6 reste 1/6 au lieu de devenir 0,1666…, si bien que la probabilité d’obtenir au moins un six en quatre lancers vaut exactement 671/1296. Quand une fraction devient illisible, seule la valeur décimale est affichée.

Les formules de probabilité utilisées

• Événement simple : P(A) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles, lorsque les issues sont équiprobables.
• Événement contraire : P(non A) = 1 − P(A).
• Événements indépendants : P(A et B) = P(A) × P(B).
• Événements incompatibles : P(A et B) = 0, donc P(A ou B) = P(A) + P(B).
• Formule de l’union : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B).
• Probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(A et B) ÷ P(B).
• Formule de Bayes : P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), avec P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × P(non A) (formule des probabilités totales).
• Au moins un succès : 1 − (1 − p)ⁿ.
• Loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, d’espérance np et de variance np(1 − p).
• Cotes : une cote pour a:b donne P = a ÷ (a + b) ; une cote contre a:b donne P = b ÷ (a + b).

Formule de Bayes et tableau à double entrée

Le mode Bayes répond aux questions du type : « un test détecte 95 % des malades, donne 5 % de faux positifs, et 1 % de la population est malade ; quelle est la probabilité d’être malade si le test est positif ? » Saisissez P(A) – probabilité a priori = 1 %, P(B | A) – taux de vrais positifs = 95 % et P(B | non A) – taux de faux positifs = 5 %. Le résultat, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1 %, en surprend plus d’un : la maladie étant rare, les faux positifs sont plus nombreux que les vrais. Le Tableau 2 × 2 des probabilités conjointes détaille les quatre cas et leurs totaux, et le calcul détaillé traduit le tout en effectifs sur 10 000 personnes, comme dans un arbre de probabilités.

Loi binomiale et grands nombres

Le mode Loi binomiale donne en une fois P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) et P(X ≥ k), ainsi que l’espérance, la variance et l’écart type. Jusqu’à 1 000 essais, tout est calculé exactement avec de grands entiers. De 1 001 à 100 000 essais, l’outil passe à un calcul approché en virgule flottante et le signale dans le détail. Le mode « au moins un succès » accepte jusqu’à 1 000 000 d’essais et indique combien d’essais il faut pour avoir 50 % puis 95 % de chances de réussir au moins une fois.