Calculadora de probabilitat

Com utilitzar la calculadora de probabilitat

1. Tria un tipus de problema a Càlcul: Un sol succés (favorables ÷ possibles), Complementari (no A), Dos successos (A i B, A o B), Probabilitat condicionada (teorema de Bayes), Almenys un èxit en n intents, Distribució binomial, Odds a probabilitat o Probabilitat a odds.
2. Omple els camps. Les probabilitats es poden escriure com una fracció (1/6), un decimal (0,25) o un percentatge (25 %). Els recomptes, com n – nombre d’intents, han de ser nombres enters.
3. Per a dos successos, tria la Relació entre A i B: Independents, Mútuament excloents o Conec P(A i B). Per a les odds, indica si són Odds a favor o Odds en contra.
4. Els resultats s’actualitzen mentre escrius (el botó Calcula fa el mateix). Cada resultat es mostra com una Fracció exacta, un Decimal i un Percentatge, i Pas a pas mostra la fórmula amb els teus nombres. Copia copia la taula de resultats com a text.

Funciona al teu navegador: res del que escrius s’envia a cap servidor. L’eina treballa amb fraccions exactes: 1/6 continua sent 1/6 en lloc de convertir-se en 0,1666…, de manera que la resposta a «almenys un sis en quatre llançaments» és exactament 671/1296. Quan una fracció es fa massa llarga per llegir-la, només es mostra el decimal.

Les fórmules utilitzades

• Un sol succés: P(A) = casos favorables ÷ casos possibles, quan tots els resultats són equiprobables.
• Complementari: P(no A) = 1 − P(A).
• Successos independents: P(A i B) = P(A) × P(B).
• Successos mútuament excloents: P(A i B) = 0, de manera que P(A o B) = P(A) + P(B).
• Regla de la suma (qualsevol succés): P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A i B).
• Probabilitat condicionada: P(A | B) = P(A i B) ÷ P(B).
• Teorema de Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), amb P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | no A) × P(no A).
• Almenys un èxit: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Distribució binomial: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, amb mitjana np i variància np(1 − p).
• Odds: unes odds a favor a:b donen P = a ÷ (a + b); unes odds en contra a:b donen P = b ÷ (a + b). Les odds es poden escriure com 3:2, 3-2 o 3 a 2.

El teorema de Bayes i la taula 2 × 2

El mode de Bayes està pensat per a preguntes com aquesta: «una prova té una sensibilitat del 95 % amb un 5 % de falsos positius, i l‘1 % de les persones tenen la malaltia: quina és la probabilitat que un resultat positiu sigui un positiu real?». Introdueix P(A) – probabilitat a priori (prevalença) = 1 %, P(B | A) – taxa de positius reals = 95 % i P(B | no A) – taxa de falsos positius = 5 %. La resposta, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1 %, sorprèn la majoria de la gent: com que la malaltia és poc freqüent, els falsos positius superen els reals. La Taula 2 × 2 de probabilitats conjuntes mostra les quatre combinacions (A i B, A i no B, no A i B, no A i no B) amb els seus totals, i els passos ho reformulen com a freqüències naturals sobre 10 000 persones.

Resultats binomials i nombres grans

El mode binomial dona alhora P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) i P(X ≥ k), a més de la mitjana, la variància i la desviació estàndard. Fins a 1000 intents, tots els valors es calculen amb exactitud amb enters grans. De 1001 a 100 000 intents, l’eina passa a aritmètica de coma flotant en espai logarítmic i ho indica als passos; els resultats són aleshores aproximacions precises. El mode «almenys un èxit» accepta fins a 1 000 000 d’intents i també t’indica quants intents calen per tenir un 50 % i un 95 % de probabilitat d’almenys un èxit.