Wahrscheinlichkeitsrechner

So nutzen Sie den Wahrscheinlichkeitsrechner

1. Wählen Sie unter Berechnung die Art der Aufgabe: Einzelnes Ereignis (günstige ÷ mögliche), Gegenereignis (nicht A), Zwei Ereignisse (A und B, A oder B), Bedingte Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes), Mindestens ein Treffer in n Versuchen, Binomialverteilung, Quote in Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeit in Quote.
2. Füllen Sie die Felder aus. Wahrscheinlichkeiten können Sie als Bruch (1/6), Dezimalzahl (0,25) oder Prozentwert (25%) eingeben. Anzahlen wie n – Anzahl der Versuche müssen ganze Zahlen sein.
3. Bei zwei Ereignissen wählen Sie die Beziehung zwischen A und B: Unabhängig, Unvereinbar (schließen sich aus) oder Ich kenne P(A und B). Bei Quoten geben Sie an, ob es sich um eine Chance für (dafür) oder eine Chance gegen (dagegen) handelt.
4. Die Ergebnisse werden beim Tippen aktualisiert (die Schaltfläche Berechnen bewirkt dasselbe). Jedes Ergebnis erscheint in den Spalten Bruch (exakt), Dezimal und Prozent, und Schritt für Schritt zeigt die Formel mit Ihren Zahlen. Kopieren kopiert die Ergebnistabelle als Text.

Das Tool rechnet mit exakten Brüchen: 1/6 bleibt 1/6, statt zu 0,1666… zu werden. Die Antwort auf „mindestens eine Sechs bei vier Würfen“ lautet daher exakt 671/1296. Wird ein Bruch zu lang zum Lesen, wird nur der Dezimalwert angezeigt.

Die verwendeten Formeln

• Einzelnes Ereignis: P(A) = günstige Ergebnisse ÷ mögliche Ergebnisse, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Wahrscheinlichkeit).
• Gegenereignis: P(nicht A) = 1 − P(A).
• Unabhängige Ereignisse: P(A und B) = P(A) × P(B).
• Unvereinbare Ereignisse: P(A und B) = 0, also P(A oder B) = P(A) + P(B).
• Additionssatz (beliebige Ereignisse): P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B).
• Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A | B) = P(A und B) ÷ P(B).
• Satz von Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), mit P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | nicht A) × P(nicht A).
• Mindestens ein Treffer: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Binomialverteilung: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, mit Erwartungswert np und Varianz np(1 − p).
• Quoten: Eine Chance dafür von a:b ergibt P = a ÷ (a + b); eine Chance dagegen von a:b ergibt P = b ÷ (a + b).

Satz von Bayes und Vierfeldertafel

Der Bayes-Modus ist für Fragen gedacht wie: „Ein Test hat eine Sensitivität von 95 % und eine Falsch-positiv-Rate von 5 %, und 1 % der Menschen hat die Erkrankung – wie wahrscheinlich ist ein positives Ergebnis tatsächlich richtig?“ Geben Sie P(A) – A-priori (Basisrate) = 1 %, P(B | A) – Richtig-positiv-Rate = 95 % und P(B | nicht A) – Falsch-positiv-Rate = 5 % ein. Die Antwort P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1 % überrascht die meisten: Weil die Erkrankung selten ist, gibt es mehr falsch positive als richtig positive Befunde. Die Vierfeldertafel der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten zeigt alle vier Kombinationen (A und B, A und nicht B, nicht A und B, nicht A und nicht B) mit ihren Summen, und der Rechenweg formuliert das Ganze als natürliche Häufigkeiten von 10.000 Personen.

Binomialverteilung und große Zahlen

Der Binomial-Modus liefert P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) und P(X ≥ k) auf einmal, dazu Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Bis 1.000 Versuche wird jeder Wert exakt mit großen Ganzzahlen berechnet. Von 1.001 bis 100.000 Versuchen wechselt das Tool zu Gleitkommaarithmetik im Logarithmusraum und weist im Rechenweg darauf hin; die Ergebnisse sind dann genaue Näherungen. Der Modus „mindestens ein Treffer“ akzeptiert bis 1.000.000 Versuche und sagt Ihnen außerdem, wie viele Versuche für eine Chance von 50 % bzw. 95 % auf mindestens einen Treffer nötig sind.