Valószínűségszámító

A valószínűségszámító használata

1. A Számítás listában válaszd ki a feladat típusát: Egyetlen esemény (kedvező ÷ összes), Komplementer esemény (nem A), Két esemény (A és B, A vagy B), Feltételes valószínűség (Bayes-tétel), Legalább egy siker n kísérletben, Binomiális eloszlás, Esély (odds) → valószínűség vagy Valószínűség → esély (odds).
2. Töltsd ki a mezőket. A valószínűségeket megadhatod törtként (1/6), tizedes törtként (0,25) vagy százalékként (25%). Az olyan darabszámoknak, mint az n – a kísérletek száma, egész számnak kell lenniük.
3. Két eseménynél válaszd ki az A és B kapcsolata pontot: Független, Kölcsönösen kizáró vagy Ismerem a P(A és B) értékét. Esélynél add meg, hogy Mellette szóló esély (odds for) vagy Ellene szóló esély (odds against) szerepel-e. Az esélyt 3:2 alakban írd, vagy egyetlen számként (a 4 jelentése 4:1).
4. Az eredmények gépelés közben frissülnek (a Számítás gomb ugyanezt teszi). Minden eredményt pontos Törtként, Tizedes törtként és Százalékként mutatunk, a Lépésről lépésre pedig a képletet mutatja a te számaiddal. A Másolás az eredménytáblázatot másolja szövegként.

Az eszköz pontos törtekkel dolgozik: az 1/6 megmarad 1/6-nak ahelyett, hogy 0,1666… lenne, így a „legalább egy hatos négy dobásból” kérdésre a válasz pontosan 671/1296. Ha egy tört túl hosszú az olvasáshoz, csak a tizedes alak jelenik meg. Az eszköz a böngésződben fut, a beírt adatok nem kerülnek feltöltésre.

A használt képletek

• Egyetlen esemény: P(A) = kedvező kimenetelek ÷ lehetséges kimenetelek, ha minden kimenetel egyformán valószínű.
• Komplementer esemény: P(nem A) = 1 − P(A).
• Független események: P(A és B) = P(A) × P(B).
• Kölcsönösen kizáró események: P(A és B) = 0, tehát P(A vagy B) = P(A) + P(B).
• Összeadási szabály (tetszőleges események): P(A vagy B) = P(A) + P(B) − P(A és B).
• Feltételes valószínűség: P(A | B) = P(A és B) ÷ P(B).
• Bayes-tétel: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B), ahol P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | nem A) × P(nem A).
• Legalább egy siker: 1 − (1 − p)ⁿ.
• Binomiális eloszlás: P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, várható értéke np, varianciája np(1 − p).
• Esély (odds): az a:b melletti esély P = a ÷ (a + b); az a:b elleni esély P = b ÷ (a + b).

A Bayes-tétel és a 2 × 2-es táblázat

A Bayes-mód az olyan kérdésekre készült, mint: „egy teszt érzékenysége 95%, a hamis pozitív aránya 5%, és az emberek 1%-ának van meg az állapota: mekkora az esélye, hogy egy pozitív eredmény valódi pozitív?” Add meg a P(A) – a priori valószínűség (alapráta) = 1%, a P(B | A) – valódi pozitív arány = 95% és a P(B | nem A) – hamis pozitív arány = 5% értéket. A válasz, P(A | B) = 19/118 ≈ 16,1%, a legtöbb embert meglepi: mivel az állapot ritka, a hamis pozitívak száma meghaladja a valódiakét. Az Együttes valószínűségek 2 × 2-es táblázata mind a négy kombinációt (A és B, A és nem B, nem A és B, nem A és nem B) megmutatja összegeikkel együtt, a lépések pedig természetes gyakoriságként is összefoglalják 10 000 emberre vetítve.

Binomiális eredmények és nagy számok

A binomiális mód egyszerre adja meg a P(X = k), P(X < k), P(X ≤ k), P(X > k) és P(X ≥ k) értékét, valamint a várható értéket, a varianciát és a szórást. 1000 kísérletig minden érték pontosan, nagy egészekkel számolódik. 1001 és 100 000 kísérlet között az eszköz logaritmikus térben lebegőpontos számításra vált, és ezt a lépésekben jelzi is; ilyenkor az eredmények pontos közelítések. A „legalább egy siker” mód legfeljebb 1 000 000 kísérletet fogad el, és azt is megmondja, hány kísérlet ad 50%-os, illetve 95%-os esélyt legalább egy sikerre.