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Calculateur de permutations et combinaisons

Calculez combinaisons, arrangements, factorielles, répétitions et nombre d'anagrammes de façon exacte, avec le calcul détaillé et la liste des cas.

Nombres entiers de 0 à 10 000.

Résultat

–

Calcul détaillé

Énumérer les cas

Séparez les éléments par des virgules ou des espaces : n est leur nombre et r vient du champ ci-dessus. Au plus 50 éléments et r ≤ 20 ; les 500 premiers cas sont listés.

    Comment utiliser cet outil

    1. Dans Que compter ?, choisissez le type de dénombrement : Arrangements nPr (l’ordre compte), Combinaisons nCr (l’ordre ne compte pas), Arrangements avec répétition (n^r), Combinaisons avec répétition, Factorielle n!, Permutations avec répétition (anagrammes) ou Triangle de Pascal.
    2. Saisissez le Nombre total d’éléments (n) et, si demandé, les Éléments choisis (r). Pour les anagrammes, tapez un mot comme MISSISSIPPI, ou la taille des groupes d’éléments identiques (3 2 1), dans Mot ou tailles des groupes.
    3. Le résultat s’affiche pendant la saisie ; Calculer fait de même, Effacer vide les champs et Copier copie le résultat avec sa notation, par exemple C(10, 3) = 120.
    4. La partie Calcul détaillé donne la formule, la formule avec vos nombres, le produit simplifié et la valeur finale.
    5. Ouvrez Énumérer les cas, tapez vos Éléments (par exemple a, b, c, d) et cliquez sur Énumérer pour voir les tirages eux-mêmes. Les 500 premiers cas sont affichés.

    Tous les résultats sont des entiers exacts, calculés en précision arbitraire. n et r peuvent aller jusqu’à 10 000 : 10 000! compte 35 660 chiffres et s’affiche en entier, avec une valeur approchée en notation scientifique et son nombre de chiffres.

    Quelle formule choisir ?

    Deux questions suffisent : l’ordre compte-t-il, et un élément peut-il être repris ?

    Situation Ordre Formule Exemple
    Sans répétition compte A(n, r) = n! / (n − r)! podium de 3 parmi 10 coureurs : 720
    Sans répétition ne compte pas C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 numéros parmi 49 : 13 983 816
    Avec répétition compte nʳ code à 4 chiffres : 10⁴ = 10 000
    Avec répétition ne compte pas C(n + r − 1, r) 3 boules parmi 5 parfums : 35
    Tous les éléments, distincts compte n! ranger 5 livres : 120
    Tous les éléments, certains identiques compte n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagrammes de MISSISSIPPI : 34 650

    En France, on parle d’arrangements pour les tirages ordonnés (notés Aₙʳ, que l’outil écrit P(n, r)) et de combinaisons pour les tirages non ordonnés, notées C(n, r) ou « r parmi n ». Le mot permutation désigne alors un arrangement de tous les éléments, soit n!. Comme chaque groupe de r éléments peut être ordonné de r! façons, C(n, r) = A(n, r) / r!.

    Le triangle de Pascal

    Chaque nombre du triangle de Pascal est la somme des deux nombres situés au-dessus : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). La ligne n donne les coefficients binomiaux C(n, 0) … C(n, n), c’est-à-dire les coefficients du développement de (a + b)ⁿ, et leur somme vaut 2ⁿ, le nombre de parties d’un ensemble à n éléments. L’outil trace le triangle complet jusqu’à la ligne 20, puis une seule ligne jusqu’à la ligne 200.

    Astuces

    • L’outil utilise la symétrie C(n, r) = C(n, n − r) pour raccourcir le calcul : C(100, 97) est calculé comme C(100, 3).
    • Par convention 0! = 1, d’où C(n, 0) = C(n, n) = 1.
    • Avec répétition, r peut dépasser n (un code de 6 caractères avec 2 symboles) ; sans répétition, r ne peut pas dépasser n.

    Questions fréquentes

    Quelle différence entre arrangement et combinaison ?

    Un arrangement tient compte de l’ordre, une combinaison non. Élire un président, un secrétaire et un trésorier parmi 10 personnes donne A(10, 3) = 720 possibilités ; former un comité de 3 personnes donne C(10, 3) = 120 possibilités, six fois moins, car chaque comité peut être ordonné de 3! = 6 façons.

    Comment compter les anagrammes d'un mot ?

    Choisissez Permutations avec répétition (anagrammes) et tapez le mot. Les lettres sont comptées sans tenir compte des majuscules, et le résultat est n! divisé par la factorielle du nombre d’occurrences de chaque lettre. LETTRE donne 6! / (2! × 2!) = 180.

    Pourquoi la liste des cas est-elle limitée ?

    Le nombre de cas explose très vite : 10 éléments se rangent déjà de 3 628 800 façons. La liste affiche au plus 500 cas, pour 50 éléments au maximum et r jusqu’à 20, en indiquant le nombre total.

    Jusqu'où vont les calculs ?

    n et r peuvent aller jusqu’à 10 000. Le résultat reste exact ; au-delà de 15 chiffres, l’outil affiche aussi une valeur approchée, par exemple 9,33262154 × 10¹⁵⁷ pour 100!, et le nombre de chiffres.

    Comment calculer ses chances au loto ?

    Avec les combinaisons : choisir 6 numéros parmi 49 donne C(49, 6) = 13 983 816 grilles possibles, soit une chance sur 13 983 816 de trouver les six bons numéros avec une grille.

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