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Calculadora de arranjos, permutações e combinações

Calcula arranjos (nPr), combinações (nCr), fatoriais, repetições e anagramas de forma exata, com as fórmulas passo a passo e a lista dos casos.

Números inteiros de 0 a 10 000.

Resultado

–

Passo a passo

Listar os casos

Separa os elementos com vírgulas ou espaços: n é o número de elementos e r vem do campo acima. No máximo 50 elementos e r ≤ 20; são listados os primeiros 500 casos.

    Como usar a calculadora de arranjos e combinações

    1. Em O que contar, escolhe o tipo de contagem: Arranjos nPr (a ordem importa), Combinações nCr (a ordem não importa), Arranjos com repetição (n^r), Combinações com repetição, Fatorial n!, Permutações com elementos repetidos ou Triângulo de Pascal.
    2. Introduz o Número total de elementos (n) e, quando pedido, os Elementos escolhidos (r). Para permutações com elementos repetidos, escreve uma palavra como BANANA ou os tamanhos dos grupos de elementos iguais (3 2 1) em Palavra ou tamanhos dos grupos.
    3. O resultado aparece enquanto escreves; Calcular faz o mesmo, Limpar esvazia os campos e Copiar copia o resultado com a sua notação, por exemplo C(10, 3) = 120.
    4. O Passo a passo mostra a fórmula, a fórmula com os teus números, o produto simplificado e o valor final.
    5. Abre Listar os casos, escreve os teus Elementos (por exemplo a, b, c, d) e carrega em Listar para ver as disposições ou os grupos concretos. São mostrados os primeiros 500 casos.

    Todos os resultados são números inteiros exatos, calculados com inteiros de precisão arbitrária. n e r podem ir até 10 000: 10 000! tem 35 660 algarismos e é escrito por extenso, acompanhado de uma aproximação em notação científica e do seu número de algarismos.

    Que fórmula devo usar?

    Há duas perguntas que decidem: a ordem importa? E um elemento pode ser usado mais do que uma vez?

    Situação A ordem importa Fórmula Exemplo
    Sem repetição sim A(n, r) = n! / (n − r)! pódio de 3 entre 10 corredores: 720
    Sem repetição não C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) 6 números em 49: 13 983 816
    Com repetição sim n^r PIN de 4 algarismos: 10⁴ = 10 000
    Com repetição não C(n + r − 1, r) 3 bolas de 5 sabores: 35
    Todos os elementos, todos diferentes sim n! ordenar 5 livros: 120
    Todos os elementos, alguns iguais sim n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!) anagramas de BANANA: 60

    Nas escolas portuguesas, os arranjos sem repetição escrevem-se muitas vezes ⁿAᵣ e as combinações ⁿCᵣ; a ferramenta usa as notações internacionais nPr e nCr, que designam exatamente o mesmo. Um arranjo é uma seleção ordenada: ABC e CAB são diferentes. Uma combinação é um conjunto: {A, B, C} é o mesmo grupo, seja qual for a ordem. Por isso C(n, r) = P(n, r) / r!: cada grupo de r elementos pode ser ordenado de r! maneiras.

    Triângulo de Pascal

    Cada número do triângulo de Pascal é a soma dos dois números que estão por cima dele: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). A linha n lista C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), os coeficientes de (a + b)ⁿ, e a sua soma é 2ⁿ, o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos. A calculadora desenha o triângulo inteiro até à linha 20 e mostra uma única linha até à linha 200.

    Dicas

    • A calculadora usa a simetria C(n, r) = C(n, n − r) para encurtar a multiplicação: C(100, 97) é calculado como C(100, 3).
    • 0! = 1 por definição, por isso C(n, 0) = C(n, n) = 1 e P(n, 0) = 1.
    • Com repetição, r pode ser maior do que n (um código de 6 caracteres com 2 símbolos); sem repetição, r não pode ultrapassar n.

    Perguntas frequentes

    Qual é a diferença entre nPr e nCr?

    nPr conta disposições ordenadas e nCr conta grupos sem ordem. Escolher um presidente, um secretário e um tesoureiro entre 10 pessoas dá P(10, 3) = 720; escolher uma comissão de 3 dá C(10, 3) = 120, seis vezes menos, porque cada comissão pode ser ordenada de 3! = 6 maneiras.

    Como conto os anagramas de uma palavra?

    Escolhe Permutações com elementos repetidos e escreve a palavra. As letras são contadas sem distinguir maiúsculas de minúsculas, e o resultado é n! dividido pelo fatorial do número de vezes que cada letra aparece. ARARA dá 5! / (3! × 2!) = 10.

    Porque é que a lista é limitada?

    O número de casos cresce muito depressa: 10 elementos já têm 3 628 800 ordenações. A lista mostra no máximo 500 casos, com até 50 elementos e r até 20, e indica quantos casos existem no total.

    Até que tamanho podem ir os números?

    n e r vão até 10 000. O resultado é sempre exato; acima de 15 algarismos aparece também uma aproximação como 9,33262154 × 10¹⁵⁷ (para 100!) e o número de algarismos.

    Como calculo as probabilidades de uma lotaria?

    Usa combinações: numa lotaria de 6 números em 49 há C(49, 6) = 13 983 816 boletins possíveis, por isso um único boletim tem 1 hipótese em 13 983 816 de acertar nos seis números.

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