Calculadora de desvio padrão

Como usar a calculadora de desvio padrão

1. Escreve ou cola os teus dados na caixa Conjunto de dados. Separa os valores com ponto e vírgula, espaços ou mudanças de linha; uma coluna copiada de uma folha de cálculo funciona diretamente. Escreve os decimais com vírgula (2,5): nesta página, a vírgula é sempre a vírgula decimal e nunca separa valores.
2. Os resultados atualizam-se enquanto escreves, ou carrega em Calcular.
3. Lê as duas versões lado a lado: Amostra (dividir por n − 1) dá o Desvio padrão s e a Variância s²; População (dividir por n) dá o Desvio padrão σ e a Variância σ².
4. Por baixo encontras também a Média x̄, a Contagem n, a Soma Σx, a Soma dos quadrados Σ(x − x̄)² e o Erro padrão s/√n.
5. O painel Passo a passo escreve a fórmula com os teus números: a média, cada desvio ao quadrado, a sua soma e depois as variâncias e as raízes quadradas. Copiar copia todos os resultados como texto.

Amostra ou população?

Usa a fórmula da população quando os teus dados incluem todos os elementos do grupo que te interessa: as alturas dos 24 alunos de uma turma, as pontuações de todos os jogos de uma época. Usa a fórmula da amostra quando os dados são um subconjunto usado para estimar um grupo maior: 50 clientes inquiridos entre milhares, dez medições de um processo que pode ser repetido indefinidamente.

Na prática, em caso de dúvida, o desvio padrão amostral s é normalmente o que um professor, um relatório de laboratório ou um programa de estatística espera (por exemplo DESVPAD.S nas folhas de cálculo em português, STDEV.S em inglês). A versão populacional corresponde a DESVPAD.P (STDEV.P).

As fórmulas

Com n valores x₁ … xₙ e a sua média x̄ = Σx ÷ n:

• Soma dos desvios ao quadrado: SS = Σ(x − x̄)²
• Variância populacional: σ² = SS ÷ n, e desvio padrão populacional σ = √σ²
• Variância amostral: s² = SS ÷ (n − 1), e desvio padrão amostral s = √s²
• Erro padrão da média: s ÷ √n

Dividir por n − 1 em vez de n (correção de Bessel) compensa o facto de os desvios serem medidos em relação à média da própria amostra, que está sempre um pouco mais perto dos dados do que a verdadeira média. Sem ela, a variância amostral subestimaria, em média, a variância da população.

Exemplo resolvido. Para 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9: a média é 40 ÷ 8 = 5. Os desvios ao quadrado são 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, cuja soma é 32. A variância populacional é 32 ÷ 8 = 4, logo σ = 2. A variância amostral é 32 ÷ 7 ≈ 4,571, logo s ≈ 2,138.

Preciso mesmo com números grandes

O atalho dos manuais Σx² − (Σx)² ÷ n subtrai dois números enormes e quase iguais e pode perder toda a precisão, por exemplo com marcas temporais ou valores à volta de mil milhões. Esta ferramenta usa antes o algoritmo de Welford: atualiza a média e a soma dos desvios ao quadrado um valor de cada vez, o que mantém o resultado preciso mesmo quando os valores partilham um grande desfasamento.