Calculadora de logaritmos

Como usar a calculadora de logaritmos

1. Escolhe uma função: log₁₀ (decimal), ln (natural), log de base b ou Antilogaritmo (bʸ).
2. Escreve o Número x: um número inteiro, um decimal (com vírgula, como 0,5), uma fração como 1/8, notação científica como 2,5e-7, ou a letra e.
3. Em log de base b e Antilogaritmo (bʸ), introduz a Base b: qualquer número positivo diferente de 1, ou e. No antilogaritmo, o primeiro campo passa a chamar-se Expoente y.
4. O resultado aparece enquanto escreves (Calcular faz o mesmo) e Copiar copia-o.

Nos logaritmos, a ferramenta mostra também log₁₀ x, ln x e log₂ x lado a lado, e o painel Passo a passo explica como o resultado foi obtido.

O que é um logaritmo

O logaritmo responde à pergunta «a que expoente tenho de elevar a base para obter este número?». log_b(x) = y significa exatamente bʸ = x. Assim, log₁₀(1000) = 3 porque 10³ = 1000, e log₂(8) = 3 porque 2³ = 8.

• O logaritmo decimal (log ou log₁₀) usa a base 10. Conta ordens de grandeza e está por trás da escala de pH, dos decibéis e da escala de Richter.
• O logaritmo natural (ln) usa o número e ≈ 2,718281828. Aparece no crescimento, no decaimento, nos juros compostos e no cálculo diferencial, porque a derivada de ln x é 1/x.
• O logaritmo binário (log₂) conta duplicações; usa-se em informática e em teoria da informação.
• O antilogaritmo inverte um logaritmo: o antilogaritmo de y na base b é bʸ. O antilogaritmo de 2,5 na base 10 é 10^2,5 ≈ 316,23.

Respostas exatas quando existem

Muitos logaritmos são números racionais, e esta ferramenta encontra-os em vez de mostrar um decimal arredondado. Escreve os dois números como potências de uma base comum: 8 = 2³ e 4 = 2², por isso log₄(8) = 3/2. Também trata frações (log₄(1/2) = −1/2) e resultados negativos (log₁₀(0,001) = −3). Quando não existe forma exata, como em log₃(10), a resposta é irracional e é dada com cerca de 14 algarismos significativos.

A fórmula de mudança de base

A maioria das calculadoras só tem as teclas log e ln. Qualquer outra base passa pela fórmula de mudança de base:

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)

Por exemplo, log₃(10) = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959. Os passos mostram esta divisão com logaritmos naturais e decimais, e depois verificam a resposta elevando a base ao resultado.

Na base 10 há outro passo útil: escreve-se x em notação científica, m × 10ᵏ, e então log₁₀(x) = k + log₁₀(m). Para 12 345 = 1,2345 × 10⁴ isto dá 4 + 0,0915 = 4,0915. É também assim que a ferramenta trata números muito para lá do alcance de uma calculadora comum, como 10⁵⁰⁰.

Regras que vale a pena saber

• log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
• log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)
• log_b(xⁿ) = n · log_b(x)
• log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1