Calculateur de logarithme

Comment calculer un logarithme

1. Choisissez la fonction : log (décimal), ln (népérien), log en base b ou Antilog (bʸ).
2. Saisissez le Nombre x : entier, décimal, fraction comme 1/8, notation scientifique comme 2,5e-7, ou la lettre e.
3. Pour log en base b et Antilog (bʸ), indiquez la Base b : un nombre positif différent de 1, ou e. Pour l’antilog, le premier champ devient Exposant y.
4. Le résultat s’affiche pendant la saisie (le bouton Calculer fait de même) et Copier le copie.

Pour un logarithme, l’outil affiche aussi côte à côte log₁₀ x, ln x et log₂ x, et le panneau Étapes du calcul explique comment le résultat a été obtenu.

Qu’est-ce qu’un logarithme ?

Le logarithme répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? ». log_b(x) = y signifie exactement bʸ = x. Ainsi log(1000) = 3 car 10³ = 1000, et log₂(8) = 3 car 2³ = 8.

• Le logarithme décimal (log, noté aussi log₁₀) utilise la base 10. Il compte les ordres de grandeur : on le retrouve dans le pH, les décibels ou l’échelle de Richter.
• Le logarithme népérien (ln), ou logarithme naturel, utilise la base e ≈ 2,718281828. Il intervient dans la croissance, la décroissance radioactive, les intérêts composés et en analyse, car la dérivée de ln x est 1/x.
• Le logarithme binaire (log₂) compte les doublements ; il sert en informatique et en théorie de l’information.
• L’antilogarithme est la réciproque : l’antilog de y en base b vaut bʸ. L’antilog de 2,5 en base 10 est 10^2,5 ≈ 316,23.

Un résultat exact quand il existe

Beaucoup de logarithmes sont des nombres rationnels : l’outil les trouve au lieu d’afficher une valeur arrondie. Il écrit les deux nombres comme puissances d’une même base : 8 = 2³ et 4 = 2², donc log₄(8) = 3/2. Les fractions (log₄(1/2) = −1/2) et les résultats négatifs (log(0,001) = −3) sont aussi traités. Quand il n’y a pas de forme exacte, comme pour log₃(10), le résultat est irrationnel et il est donné avec environ 14 chiffres significatifs.

La formule de changement de base

La plupart des calculatrices n’ont que les touches log et ln. Pour une autre base, on utilise la formule de changement de base :

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)

Par exemple, log₃(10) = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959. Les étapes montrent cette division avec le logarithme népérien et avec le logarithme décimal, puis vérifient le résultat en élevant la base à cette puissance.

En base 10, une autre étape est utile : on écrit x en notation scientifique, m × 10ᵏ, et log(x) = k + log(m). Pour 12 345 = 1,2345 × 10⁴, on obtient 4 + 0,0915 = 4,0915. C’est aussi ainsi que l’outil traite des nombres bien au-delà des capacités d’une calculatrice, comme 10⁵⁰⁰.

Propriétés à connaître

• log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
• log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)
• log_b(xⁿ) = n · log_b(x)
• log_b(1) = 0 et log_b(b) = 1