Utilia
Κατηγορίες ▾
Γλώσσα: el ▾

Υπολογισμός λογαρίθμων

Υπολογίστε λογάριθμο με βάση 10, φυσικό λογάριθμο, λογάριθμο με βάση 2 ή b και αντιλογάριθμους, με ακριβείς απαντήσεις και αλλαγή βάσης.

Το x μπορεί να είναι ακέραιος, δεκαδικός, κλάσμα (1/8), επιστημονική γραφή (2,5e-7) ή e. Η βάση πρέπει να είναι θετική και διαφορετική από το 1. Ο αντιλογάριθμος δίνει τον αριθμό με λογάριθμο y: bʸ.

–

Βήμα προς βήμα

Πώς να χρησιμοποιήσετε τον υπολογισμό λογαρίθμων

  1. Διαλέξτε μια συνάρτηση: log₁₀ (δεκαδικός), ln (φυσικός), log με βάση b ή Αντιλογάριθμος (bʸ).
  2. Πληκτρολογήστε τον Αριθμό x: έναν ακέραιο, έναν δεκαδικό, ένα κλάσμα όπως 1/8, επιστημονική γραφή όπως 2,5e-7, ή το γράμμα e.
  3. Για το log με βάση b και τον Αντιλογάριθμο (bʸ), εισαγάγετε τη Βάση b: οποιονδήποτε θετικό αριθμό εκτός από το 1, ή το e. Στον αντιλογάριθμο, το πρώτο πεδίο γίνεται Εκθέτης y.
  4. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται καθώς πληκτρολογείτε (το κουμπί Υπολογισμός κάνει το ίδιο) και η Αντιγραφή το αντιγράφει.

Για τους λογαρίθμους, το εργαλείο δείχνει επίσης τα log₁₀ x, ln x και log₂ x δίπλα-δίπλα, και το πλαίσιο Βήμα προς βήμα εξηγεί πώς βρέθηκε το αποτέλεσμα.

Τι είναι ο λογάριθμος

Ο λογάριθμος απαντά στην ερώτηση «σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσω τη βάση για να πάρω αυτόν τον αριθμό;». Το log_b(x) = y σημαίνει ακριβώς bʸ = x. Άρα log₁₀(1000) = 3 επειδή 10³ = 1000, και log₂(8) = 3 επειδή 2³ = 8.

  • Ο δεκαδικός λογάριθμος (log ή log₁₀) έχει βάση 10. Μετρά τάξεις μεγέθους και βρίσκεται πίσω από την κλίμακα pH, τα ντεσιμπέλ και την κλίμακα Ρίχτερ.
  • Ο φυσικός λογάριθμος (ln) έχει βάση τον αριθμό e ≈ 2,718281828. Εμφανίζεται στην αύξηση, στη φθορά, στον ανατοκισμό και στον απειροστικό λογισμό, επειδή η παράγωγος του ln x είναι 1/x.
  • Ο δυαδικός λογάριθμος (log₂) μετρά διπλασιασμούς· χρησιμοποιείται στην πληροφορική και στη θεωρία πληροφορίας.
  • Ο αντιλογάριθμος αναιρεί έναν λογάριθμο: ο αντιλογάριθμος του y με βάση b είναι το bʸ. Ο αντιλογάριθμος του 2,5 με βάση 10 είναι 10^2,5 ≈ 316,23.

Ακριβείς απαντήσεις όπου υπάρχουν

Πολλοί λογάριθμοι είναι ρητοί αριθμοί και το εργαλείο τους βρίσκει αντί να τυπώνει στρογγυλοποιημένο δεκαδικό. Γράφει και τους δύο αριθμούς ως δυνάμεις κοινής βάσης: 8 = 2³ και 4 = 2², άρα log₄(8) = 3/2. Χειρίζεται επίσης κλάσματα (log₄(1/2) = −1/2) και αρνητικά αποτελέσματα (log₁₀(0,001) = −3). Όταν δεν υπάρχει ακριβής μορφή, όπως στο log₃(10), η απάντηση είναι άρρητη και δίνεται με περίπου 14 σημαντικά ψηφία.

Ο τύπος αλλαγής βάσης

Οι περισσότερες αριθμομηχανές έχουν μόνο πλήκτρα log και ln. Κάθε άλλη βάση περνά από τον τύπο αλλαγής βάσης:

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)

Για παράδειγμα, log₃(10) = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959. Τα βήματα δείχνουν αυτή τη διαίρεση και με φυσικούς και με δεκαδικούς λογαρίθμους, και μετά ελέγχουν την απάντηση υψώνοντας τη βάση στο αποτέλεσμα.

Για βάση 10 υπάρχει ένα ακόμη χρήσιμο βήμα: γράψτε το x σε επιστημονική γραφή, m × 10ᵏ, και τότε log₁₀(x) = k + log₁₀(m). Για το 12.345 = 1,2345 × 10⁴ προκύπτει 4 + 0,0915 = 4,0915. Έτσι χειρίζεται το εργαλείο και αριθμούς πολύ πέρα από το εύρος μιας συνηθισμένης αριθμομηχανής, όπως το 10⁵⁰⁰.

Κανόνες που αξίζει να θυμάστε

  • log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
  • log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)
  • log_b(xⁿ) = n · log_b(x)
  • log_b(1) = 0 και log_b(b) = 1

Συχνές ερωτήσεις

Γιατί δεν μπορώ να πάρω τον λογάριθμο του 0 ή ενός αρνητικού αριθμού;

Καμία δύναμη θετικής βάσης δεν είναι μηδέν ή αρνητική, άρα ο log(0) και ο log(−5) δεν υπάρχουν στους πραγματικούς αριθμούς. Το εργαλείο δείχνει μήνυμα αντί για αποτέλεσμα.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο log και στο ln;

Το log συνήθως σημαίνει βάση 10 και το ln βάση e. Σε ορισμένα προχωρημένα μαθηματικά και σε γλώσσες προγραμματισμού, το log σημαίνει τον φυσικό λογάριθμο, γι’ αυτό ελέγξτε τη σύμβαση.

Πώς υπολογίζω λογάριθμο με βάση 2;

Επιλέξτε log με βάση b και εισαγάγετε 2 ως Βάση b. Η τιμή log₂ x εμφανίζεται επίσης για κάθε λογάριθμο που υπολογίζετε.

Τι είναι ο αντιλογάριθμος ενός αριθμού;

Είναι η βάση υψωμένη σε αυτόν τον αριθμό. Ο αντιλογάριθμος του 3 με βάση 10 είναι 10³ = 1000· ο φυσικός αντιλογάριθμος του 1 είναι e ≈ 2,71828.

Γιατί δεν επιτρέπεται η βάση 1;

Κάθε δύναμη του 1 ισούται με 1, άρα το 1ʸ δεν μπορεί ποτέ να φτάσει κανέναν άλλον αριθμό και ο λογάριθμος με βάση 1 είναι απροσδιόριστος.

Σχετικά εργαλεία