Kalkulator logarytmów

Jak korzystać z kalkulatora logarytmów

1. Wybierz funkcję: log₁₀ (dziesiętny), ln (naturalny), log o podstawie b lub Antylogarytm (bʸ).
2. Wpisz Liczba x: liczbę całkowitą, dziesiętną (z przecinkiem lub kropką), ułamek, np. 1/8, liczbę w notacji wykładniczej, np. 2,5e-7, albo literę e.
3. Dla log o podstawie b i Antylogarytm (bʸ) podaj Podstawa b (liczba lub e): dowolną liczbę dodatnią różną od 1 albo e. Przy antylogarytmie pierwsze pole zmienia się w Wykładnik y.
4. Wynik pojawia się podczas pisania (Oblicz robi to samo), a Kopiuj go kopiuje.

Przy logarytmach narzędzie pokazuje obok siebie także log₁₀ x, ln x i log₂ x, a panel Krok po kroku wyjaśnia, jak uzyskano wynik.

Czym jest logarytm

Logarytm odpowiada na pytanie: „do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać tę liczbę?”. log_b(x) = y oznacza dokładnie tyle, że bʸ = x. Zatem log₁₀(1000) = 3, bo 10³ = 1000, a log₂(8) = 3, bo 2³ = 8.

• Logarytm dziesiętny (log lub log₁₀, w polskich podręcznikach często zapisywany po prostu jako log x) ma podstawę 10. Liczy rzędy wielkości i stoi za skalą pH, decybelami oraz skalą Richtera.
• Logarytm naturalny (ln) ma podstawę e ≈ 2,718281828. Pojawia się przy wzroście, rozpadzie, procencie składanym i w analizie matematycznej, bo pochodna ln x to 1/x.
• Logarytm dwójkowy (log₂) liczy podwojenia; używa się go w informatyce i teorii informacji.
• Antylogarytm odwraca logarytm: antylogarytm y przy podstawie b to bʸ. Antylogarytm 2,5 przy podstawie 10 to 10^2,5 ≈ 316,23.

Dokładne wyniki, gdy istnieją

Wiele logarytmów to liczby wymierne i narzędzie je znajduje, zamiast wypisywać zaokrąglony ułamek dziesiętny. Zapisuje obie liczby jako potęgi wspólnej podstawy: 8 = 2³ i 4 = 2², więc log₄(8) = 3/2. Radzi sobie też z ułamkami (log₄(1/2) = −1/2) i wynikami ujemnymi (log₁₀(0,001) = −3). Gdy postać dokładna nie istnieje, jak w przypadku log₃(10), wynik jest liczbą niewymierną i podawany jest z dokładnością ok. 14 cyfr znaczących.

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Większość kalkulatorów ma tylko klawisze log i ln. Każda inna podstawa wymaga wzoru na zmianę podstawy:

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)

Na przykład log₃(10) = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959. Kroki pokazują to dzielenie zarówno z logarytmami naturalnymi, jak i dziesiętnymi, a potem sprawdzają wynik, podnosząc podstawę do otrzymanej potęgi.

Przy podstawie 10 przydaje się jeszcze jeden krok: zapisz x w notacji wykładniczej, m × 10ᵏ, wtedy log₁₀(x) = k + log₁₀(m). Dla 12 345 = 1,2345 × 10⁴ daje to 4 + 0,0915 = 4,0915. W ten sam sposób narzędzie obsługuje liczby daleko wykraczające poza zakres zwykłego kalkulatora, np. 10⁵⁰⁰.

Własności logarytmów warte zapamiętania

• log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
• log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)
• log_b(xⁿ) = n · log_b(x)
• log_b(1) = 0 oraz log_b(b) = 1