Logarithmus-Rechner
Logarithmus-Rechner für log₁₀, ln, log₂ und jede Basis, dazu der Antilogarithmus – mit exakten Ergebnissen (log₂ 8 = 3) und Basiswechsel im Rechenweg.
x kann eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl, ein Bruch (1/8), eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise (2.5e-7) oder e sein. Die Basis muss positiv und ungleich 1 sein. Der Antilogarithmus liefert die Zahl, deren Logarithmus y ist: bʸ.
–
- log₁₀ x
- –
- ln x
- –
- log₂ x
- –
Rechenweg
So verwenden Sie den Logarithmus-Rechner
- Wählen Sie eine Funktion: log₁₀ (dekadisch), ln (natürlich), log zur Basis b oder Antilogarithmus (bʸ).
- Geben Sie die Zahl x ein: eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl (mit Komma oder Punkt), einen Bruch wie 1/8, eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise wie 2.5e-7 oder den Buchstaben e.
- Bei log zur Basis b und beim Antilogarithmus (bʸ) tragen Sie zusätzlich die Basis b ein: eine beliebige positive Zahl ungleich 1 oder e. Beim Antilogarithmus wird aus dem ersten Feld der Exponent y.
- Das Ergebnis erscheint schon während der Eingabe (Berechnen bewirkt dasselbe), und Kopieren übernimmt es in die Zwischenablage.
Bei Logarithmen zeigt dieses Tool außerdem log₁₀ x, ln x und log₂ x nebeneinander an, und der Bereich Rechenweg erklärt, wie das Ergebnis zustande kommt.
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um diese Zahl zu erhalten?“ log_b(x) = y bedeutet genau bʸ = x. Deshalb ist log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000, und log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.
- Der dekadische Logarithmus (lg, log oder log₁₀) hat die Basis 10. Er zählt Größenordnungen und steckt hinter dem pH-Wert, dem Dezibel und der Richterskala.
- Der natürliche Logarithmus (ln) hat die Eulersche Zahl e ≈ 2,718281828 als Basis. Er taucht bei Wachstum, Zerfall, Zinseszins und in der Analysis auf, denn die Ableitung von ln x ist 1/x.
- Der binäre Logarithmus (log₂ oder lb) zählt Verdopplungen und wird in der Informatik und Informationstheorie verwendet.
- Der Antilogarithmus kehrt den Logarithmus um: Der Antilogarithmus von y zur Basis b ist bʸ. Zur Basis 10 ist der Antilogarithmus von 2,5 also 10^2,5 ≈ 316,23.
Exakte Ergebnisse, wo es sie gibt
Viele Logarithmen sind rationale Zahlen, und dieses Tool findet sie, statt eine gerundete Dezimalzahl auszugeben. Dazu schreibt es beide Zahlen als Potenzen einer gemeinsamen Basis: 8 = 2³ und 4 = 2², also log₄(8) = 3/2. Auch Brüche (log₄(1/2) = −1/2) und negative Ergebnisse (log₁₀(0,001) = −3) werden erkannt. Gibt es keine exakte Form, etwa bei log₃(10), ist das Ergebnis irrational und wird mit rund 14 signifikanten Stellen angegeben.
Die Basiswechselformel
Die meisten Taschenrechner haben nur die Tasten log und ln. Jede andere Basis läuft über die Basiswechselformel:
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)
Beispiel: log₃(10) = ln 10 / ln 3 = 2,302585 / 1,098612 ≈ 2,0959. Der Rechenweg zeigt diese Division sowohl mit natürlichen als auch mit dekadischen Logarithmen und macht anschließend die Probe, indem er die Basis mit dem Ergebnis potenziert.
Für die Basis 10 gibt es einen weiteren nützlichen Schritt: Schreiben Sie x in wissenschaftlicher Schreibweise als m × 10ᵏ, dann gilt log₁₀(x) = k + log₁₀(m). Für 12.345 = 1,2345 × 10⁴ ergibt das 4 + 0,0915 = 4,0915. So verarbeitet das Tool auch Zahlen weit jenseits des üblichen Taschenrechnerbereichs, etwa 10⁵⁰⁰.
Logarithmengesetze zum Merken
- log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
- log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)
- log_b(xⁿ) = n · log_b(x)
- log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1
Häufige Fragen
Warum kann ich den Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl nicht berechnen?
Keine Potenz einer positiven Basis ist null oder negativ, deshalb existieren log(0) und log(−5) in den reellen Zahlen nicht. Das Tool zeigt in diesem Fall einen Hinweis statt eines Ergebnisses.
Was ist der Unterschied zwischen log und ln?
log steht meist für die Basis 10 (in Deutschland oft auch lg geschrieben), ln für die Basis e. In der höheren Mathematik und in manchen Programmiersprachen bedeutet log jedoch den natürlichen Logarithmus – prüfen Sie also die jeweilige Konvention.
Wie berechne ich den Logarithmus zur Basis 2?
Wählen Sie log zur Basis b und geben Sie 2 als Basis b ein. Den Wert log₂ x zeigt das Tool außerdem bei jedem berechneten Logarithmus an.
Was ist der Antilogarithmus einer Zahl?
Die Basis hoch diese Zahl. Der Antilogarithmus von 3 zur Basis 10 ist 10³ = 1000; der natürliche Antilogarithmus von 1 ist e ≈ 2,71828.
Warum ist die Basis 1 nicht erlaubt?
Jede Potenz von 1 ergibt 1, sodass 1ʸ nie eine andere Zahl erreichen kann. Der Logarithmus zur Basis 1 ist daher nicht definiert.
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