Stelsel van vergelijkingen oplossen

Zo los je een stelsel van vergelijkingen op met deze tool

1. Typ je vergelijkingen in Vergelijkingen (één per regel), bijvoorbeeld 2x + 3y = 7 en x − y = 1. Onbekenden mogen willekeurige letters zijn (x, y, z, a, b…) of namen als x1 en x2. Coëfficiënten mogen gehele getallen, decimalen (0,5) of breuken (1/2 of (1/2)x) zijn, en constanten mogen aan beide kanten staan: 3x + 4 = 2x − 1 werkt.
2. Het antwoord verschijnt terwijl je typt. Oplossen doet hetzelfde, Voorbeeld laadt een klassiek stelsel van 3 × 3, Wissen maakt alles leeg en Kopiëren kopieert de oplossing.
3. Werk je liever met een tabel? Open het Coëfficiëntenraster, kies de Grootte van het raster (2 × 2 tot 5 × 5) en vul de coëfficiënten in, met de constanten in de kolom na het =-teken. Een lege cel telt als 0. Het raster en de vergelijkingen blijven op elkaar afgestemd.
4. Lees het resultaat en de uitleg eronder: Gauss-Jordaneliminatie met elke rijoperatie en de matrix na elke stap, de Regel van Cramer voor stelsels van 2 × 2 en 3 × 3, en de Controle in de oorspronkelijke vergelijkingen.

Elke berekening is exact: de tool rekent met breuken, nooit met afgeronde decimalen, dus 1/3 blijft 1/3. Naast antwoorden met een breuk staat een decimale benadering.

Gauss-eliminatie (vegen), stap voor stap

Het stelsel wordt eerst geschreven als uitgebreide matrix: één rij per vergelijking, één kolom per onbekende, en de constanten achter een verticale streep. Drie rijoperaties veranderen de matrix zonder de oplossingen te veranderen:

• twee rijen verwisselen (R₁ ↔ R₂);
• een rij vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is (R₁ → R₁ ÷ 2);
• een veelvoud van een andere rij optellen (R₂ → R₂ − 3R₁).

De tool werkt kolom voor kolom. Hij kiest een spil, bij voorkeur een element gelijk aan 1 of −1 om breuken te vermijden, zet die op zijn plaats, deelt de rij zodat de spil 1 wordt en veegt daarna de rest van de kolom in alle andere rijen leeg. Dit is de variant van Gauss-Jordan: aan het eind staat de matrix in gereduceerde rij-echelonvorm en kun je de oplossing direct in de laatste kolom aflezen.

Eén, geen of oneindig veel oplossingen

• Eén oplossing: elke onbekende heeft een spil. De rang is gelijk aan het aantal onbekenden.
• Geen oplossing: een rij wordt 0 = 5 (coëfficiënten nul, constante niet nul). De vergelijkingen spreken elkaar tegen; bij twee onbekenden zijn de lijnen evenwijdig.
• Oneindig veel oplossingen: sommige onbekenden hebben geen spil. Ze worden vrije parameters (t, s…) en de andere onbekenden worden erin uitgedrukt, bijvoorbeeld x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Elke waarde van t geeft één oplossing.

De regel van Cramer

Voor een vierkant stelsel Ax = b met det(A) ≠ 0 is elke onbekende gelijk aan det(Aᵢ) ÷ det(A), waarbij Aᵢ de matrix A is met kolom i vervangen door de constanten. De tool toont de determinanten: ad − bc bij 2 × 2, en de ontwikkeling naar de eerste rij bij 3 × 3. Als det(A) = 0 is de regel niet toepasbaar, en de eliminatie vertelt je of er geen of oneindig veel oplossingen zijn. Voor grotere stelsels is eliminatie veel sneller, daarom wordt de regel van Cramer alleen tot 3 × 3 getoond.