Rešavač sistema linearnih jednačina

Kako se rešava sistem jednačina ovim alatom

1. Upiši jednačine u polje Jednačine (jedna po redu), na primer 2x + 3y = 7 i x − y = 1. Nepoznate mogu biti bilo koja slova (x, y, z, a, b…) ili nazivi poput x1 i x2. Koeficijenti mogu biti celi brojevi, decimale (0,5) ili razlomci (1/2 ili (1/2)x), a konstante se mogu pojaviti sa obe strane: 3x + 4 = 2x − 1 radi.
2. Odgovor se pojavljuje dok kucaš. Reši radi isto, Primer učitava klasičan sistem 3 × 3, Očisti prazni sve, a Kopiraj kopira rešenje.
3. Više voliš tabelu? Otvori Tabela koeficijenata, izaberi Veličina tabele (od 2 × 2 do 5 × 5) i upiši koeficijente, a konstante u kolonu posle znaka =. Prazna ćelija se računa kao 0. Tabela i jednačine ostaju usklađene.
4. Pročitaj rezultat i objašnjenja ispod: Gaus–Žordanova eliminacija sa svakom operacijom nad redovima i matricom posle svake, Kramerovo pravilo za sisteme 2 × 2 i 3 × 3 i Provera u polaznim jednačinama.

Svaki račun je tačan: alat radi sa razlomcima, nikad sa zaokruženim decimalama, pa 1/3 ostaje 1/3. Pored razlomljenih odgovora prikazuje se i decimalna aproksimacija.

Gausova eliminacija, korak po korak

Sistem se prvo zapisuje kao proširena matrica: jedan red po jednačini, jedna kolona po nepoznatoj, a konstante posle uspravne crte. Tri operacije nad redovima menjaju matricu bez menjanja rešenja:

• zamena dva reda (R₁ ↔ R₂);
• množenje reda brojem različitim od nule (R₁ → R₁ ÷ 2);
• dodavanje umnoška drugog reda (R₂ → R₂ − 3R₁).

Alat radi kolonu po kolonu. Bira pivot, dajući prednost elementu jednakom 1 ili −1 da izbegne razlomke, dovodi ga na mesto zamenom redova, deli red tako da pivot postane 1, a zatim čisti ostatak kolone u svim drugim redovima. To je Gaus–Žordanova varijanta: na kraju je matrica u redukovanom stepenastom obliku i rešenje se čita direktno iz poslednje kolone.

Jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rešenja

• Jedno rešenje: svaka nepoznata ima pivot. Rang je jednak broju nepoznatih.
• Nema rešenja: red postaje 0 = 5 (nulti koeficijenti, konstanta različita od nule). Jednačine protivreče jedna drugoj; kod dve nepoznate prave su paralelne.
• Beskonačno mnogo rešenja: neke nepoznate nemaju pivot. One postaju slobodni parametri (t, s…), a ostale nepoznate se izražavaju preko njih, na primer x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Svaka vrednost t daje po jedno rešenje.

Kramerovo pravilo

Za kvadratni sistem Ax = b sa det(A) ≠ 0 svaka nepoznata jednaka je det(Aᵢ) ÷ det(A), gde je Aᵢ matrica A sa kolonom i zamenjenom konstantama. Alat prikazuje determinante: ad − bc za 2 × 2 i razvoj po prvom redu za 3 × 3. Kada je det(A) = 0 pravilo se ne primenjuje, a eliminacija pokazuje da li nema rešenja ili ih ima beskonačno mnogo. Kod većih sistema eliminacija je mnogo brža, pa se Kramerovo pravilo prikazuje samo do 3 × 3.