Kalkulator układów równań liniowych

Jak rozwiązać układ równań w tym narzędziu

1. Wpisz równania w pole Równania (jedno w każdym wierszu), np. 2x + 3y = 7 i x − y = 1. Niewiadome mogą być dowolnymi literami (x, y, z, a, b…) albo nazwami typu x1 i x2. Współczynniki mogą być liczbami całkowitymi, dziesiętnymi (0,5) lub ułamkami (1/2 albo (1/2)x), a wyrazy wolne mogą stać po obu stronach: 3x + 4 = 2x − 1 też działa.
2. Odpowiedź pojawia się podczas pisania. Rozwiąż robi to samo, Przykład wczytuje klasyczny układ 3 × 3, Wyczyść opróżnia wszystko, a Kopiuj kopiuje rozwiązanie.
3. Wolisz tabelę? Otwórz Siatka współczynników, wybierz Rozmiar siatki (od 2 × 2 do 5 × 5) i wpisz współczynniki, a wyrazy wolne w kolumnie za znakiem =. Pusta komórka oznacza 0. Siatka i równania są synchronizowane.
4. Przeczytaj wynik i wyjaśnienia pod nim: Eliminacja Gaussa–Jordana z każdą operacją na wierszach i macierzą po każdej z nich, Wzory Cramera dla układów 2 × 2 i 3 × 3 oraz Sprawdzenie w równaniach wyjściowych.

Każde obliczenie jest dokładne: narzędzie pracuje na ułamkach, a nie na zaokrąglonych liczbach dziesiętnych, więc 1/3 pozostaje 1/3. Przy wynikach ułamkowych pokazywane jest też przybliżenie dziesiętne.

Eliminacja Gaussa krok po kroku

Układ jest najpierw zapisywany jako macierz rozszerzona: jeden wiersz na równanie, jedna kolumna na niewiadomą, a wyrazy wolne za pionową kreską. Trzy operacje na wierszach zmieniają macierz, nie zmieniając rozwiązań:

• zamiana dwóch wierszy (R₁ ↔ R₂);
• pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera (R₁ → R₁ ÷ 2);
• dodanie wielokrotności innego wiersza (R₂ → R₂ − 3R₁).

Narzędzie pracuje kolumna po kolumnie. Wybiera element główny (piwot), preferując 1 lub −1, żeby uniknąć ułamków, przenosi go na właściwe miejsce, dzieli wiersz tak, by element główny był równy 1, a następnie zeruje resztę kolumny we wszystkich pozostałych wierszach. To wariant Gaussa–Jordana: na końcu macierz ma zredukowaną postać schodkową, a rozwiązanie odczytuje się wprost z ostatniej kolumny.

Jedno rozwiązanie, brak rozwiązań lub nieskończenie wiele

• Jedno rozwiązanie (układ oznaczony): każda niewiadoma ma element główny. Rząd macierzy jest równy liczbie niewiadomych.
• Brak rozwiązań (układ sprzeczny): któryś wiersz przybiera postać 0 = 5 (zerowe współczynniki, niezerowy wyraz wolny). Równania przeczą sobie nawzajem; przy dwóch niewiadomych proste są równoległe.
• Nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony): niektóre niewiadome nie mają elementu głównego. Stają się parametrami (t, s…), a pozostałe niewiadome wyraża się za ich pomocą, np. x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Każda wartość t daje jedno rozwiązanie.

Wzory Cramera

Dla kwadratowego układu Ax = b z det(A) ≠ 0 każda niewiadoma jest równa det(Aᵢ) ÷ det(A), gdzie Aᵢ to macierz A, w której kolumnę i zastąpiono wyrazami wolnymi. Narzędzie pokazuje wyznaczniki: ad − bc dla 2 × 2 i rozwinięcie względem pierwszego wiersza dla 3 × 3. Gdy det(A) = 0, wzorów nie można zastosować, a eliminacja mówi, czy rozwiązań nie ma, czy jest ich nieskończenie wiele. Dla większych układów eliminacja jest znacznie szybsza, dlatego wzory Cramera pokazywane są tylko do rozmiaru 3 × 3.