Likningssett-kalkulator

Slik løser du et likningssett med dette verktøyet

1. Skriv likningene dine i Likninger (én per linje), for eksempel 2x + 3y = 7 og x − y = 1. De ukjente kan være hvilke som helst bokstaver (x, y, z, a, b …) eller navn som x1 og x2. Koeffisientene kan være heltall, desimaltall (0.5) eller brøker (1/2 eller (1/2)x), og konstanter kan stå på begge sider: 3x + 4 = 2x − 1 fungerer.
2. Svaret vises mens du skriver. Løs gjør det samme, Eksempel laster inn et klassisk 3 × 3-system, Tøm fjerner alt og Kopier kopierer løsningen.
3. Foretrekker du en tabell? Åpne Koeffisientrutenett, velg Rutenettstørrelse (2 × 2 til 5 × 5) og fyll inn koeffisientene, med konstantene i kolonnen etter likhetstegnet. En tom celle regnes som 0. Rutenettet og likningene holdes i synk.
4. Les resultatet og forklaringene under: Gauss–Jordan-eliminasjon med hver radoperasjon og matrisen etter hver av dem, Cramers regel for 2 × 2- og 3 × 3-system, og Kontroll i de opprinnelige likningene.

Alle utregninger er eksakte: verktøyet regner med brøker, aldri med avrundede desimaltall, så 1/3 forblir 1/3. En desimaltilnærming vises ved siden av brøksvar.

Gauss-eliminasjon steg for steg

Likningssettet skrives først som en utvidet matrise: én rad per likning, én kolonne per ukjent, og konstantene etter en loddrett strek. Tre radoperasjoner endrer matrisen uten å endre løsningene:

• bytte to rader (R₁ ↔ R₂)
• gange en rad med et tall som ikke er null (R₁ → R₁ ÷ 2)
• legge til et multiplum av en annen rad (R₂ → R₂ − 3R₁)

Verktøyet arbeider kolonne for kolonne. Det velger en pivot, og foretrekker et element som er 1 eller −1 for å unngå brøker, bytter den på plass, deler raden slik at pivoten blir 1, og nullstiller deretter resten av kolonnen i alle andre rader. Dette er Gauss–Jordan-varianten: til slutt står matrisen på redusert trappeform, og løsningen kan leses rett fra den siste kolonnen.

Én, ingen eller uendelig mange løsninger

• Én løsning: hver ukjent har en pivot. Rangen er lik antall ukjente.
• Ingen løsning: en rad blir 0 = 5 (null som koeffisienter, konstant forskjellig fra null). Likningene motsier hverandre. For to ukjente er linjene parallelle.
• Uendelig mange løsninger: noen ukjente har ingen pivot. De blir frie parametere (t, s …), og de andre ukjente uttrykkes ved dem, for eksempel x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Hver verdi av t gir én løsning.

Cramers regel

For et kvadratisk system Ax = b med det(A) ≠ 0 er hver ukjent lik det(Aᵢ) ÷ det(A), der Aᵢ er A med kolonne i byttet ut med konstantene. Verktøyet viser determinantene: ad − bc for 2 × 2, og utvikling langs første rad for 3 × 3. Når det(A) = 0 kan regelen ikke brukes, og elimineringen forteller om det er ingen løsning eller uendelig mange. For større system er eliminasjon mye raskere, så Cramers regel vises bare opp til 3 × 3.