Reševalnik linearnih enačb in sistemov

Kako rešim sistem enačb s tem orodjem

1. Enačbe vpiši v polje Enačbe (ena na vrstico), na primer 2x + 3y = 7 in x − y = 1. Neznanke so lahko poljubne črke (x, y, z, a, b …) ali imena, kot sta x1 in x2. Koeficienti so lahko cela števila, decimalke (0,5) ali ulomki (1/2 ali (1/2)x), konstante pa so lahko na obeh straneh: 3x + 4 = 2x − 1 deluje.
2. Odgovor se prikaže med tipkanjem. Reši naredi isto, Primer naloži klasičen sistem 3 × 3, Počisti vse izprazni, Kopiraj pa skopira rešitev.
3. Ti je ljubša tabela? Odpri Mreža koeficientov, izberi Velikost mreže (od 2 × 2 do 5 × 5) in vpiši koeficiente, konstante pa v stolpec za znakom =. Prazna celica šteje kot 0. Mreža in enačbe ostajajo usklajene.
4. Preberi rezultat in razlage pod njim: Gauss–Jordanova eliminacija z vsako vrstično operacijo in matriko po vsaki, Cramerjevo pravilo za sisteme 2 × 2 in 3 × 3 ter Preverjanje v prvotnih enačbah.

Vsak izračun je natančen: orodje dela z ulomki, nikoli z zaokroženimi decimalkami, zato 1/3 ostane 1/3. Ob ulomljenih odgovorih je prikazan tudi decimalni približek.

Gaussova eliminacija korak za korakom

Sistem se najprej zapiše kot razširjena matrika: ena vrstica na enačbo, en stolpec na neznanko, konstante pa za navpično črto. Tri vrstične operacije spremenijo matriko, ne da bi spremenile rešitve:

• zamenjava dveh vrstic (R₁ ↔ R₂);
• množenje vrstice s številom, različnim od nič (R₁ → R₁ ÷ 2);
• prištevanje večkratnika druge vrstice (R₂ → R₂ − 3R₁).

Orodje dela stolpec za stolpcem. Izbere pivot, pri čemer da prednost elementu, enakemu 1 ali −1, da se izogne ulomkom, ga zamenja na pravo mesto, vrstico deli, da pivot postane 1, nato pa izloči preostanek stolpca v vseh drugih vrsticah. To je Gauss–Jordanova različica: na koncu je matrika v reducirani vrstični stopničasti obliki in rešitev lahko preberemo kar iz zadnjega stolpca.

Ena, nobena ali neskončno mnogo rešitev

• Ena rešitev: vsaka neznanka ima pivot. Rang je enak številu neznank.
• Brez rešitve: vrstica postane 0 = 5 (ničelni koeficienti, konstanta različna od nič). Enačbe si nasprotujejo; pri dveh neznankah sta premici vzporedni.
• Neskončno mnogo rešitev: nekatere neznanke nimajo pivota. Postanejo prosti parametri (t, s …), druge neznanke pa so izražene z njimi, na primer x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Vsaka vrednost t da eno rešitev.

Cramerjevo pravilo

Pri kvadratnem sistemu Ax = b z det(A) ≠ 0 je vsaka neznanka enaka det(Aᵢ) ÷ det(A), kjer je Aᵢ matrika A z i-tim stolpcem, zamenjanim s konstantami. Orodje prikaže determinante: ad − bc za 2 × 2 in razvoj po prvi vrstici za 3 × 3. Kadar je det(A) = 0, pravilo ne velja, eliminacija pa pove, ali rešitve ni ali jih je neskončno mnogo. Pri večjih sistemih je eliminacija precej hitrejša, zato je Cramerjevo pravilo prikazano le do 3 × 3.