Calculadora de sistemas de ecuaciones lineales

Cómo resolver un sistema de ecuaciones con esta herramienta

1. Escribe tus ecuaciones en Ecuaciones (una por línea), por ejemplo 2x + 3y = 7 y x − y = 1. Las incógnitas pueden ser cualquier letra (x, y, z, a, b…) o nombres como x1 y x2. Los coeficientes pueden ser enteros, decimales (0.5) o fracciones (1/2 o (1/2)x), y puede haber términos independientes a ambos lados: 3x + 4 = 2x − 1 funciona.
2. La respuesta aparece mientras escribes. Resolver hace lo mismo, Ejemplo carga un sistema clásico de 3 × 3, Borrar lo vacía todo y Copiar copia la solución.
3. ¿Prefieres una tabla? Abre la Cuadrícula de coeficientes, elige el Tamaño de la cuadrícula (de 2 × 2 a 5 × 5) y rellena los coeficientes, con los términos independientes en la columna que sigue al signo =. Una celda vacía cuenta como 0. La cuadrícula y las ecuaciones se mantienen sincronizadas.
4. Lee el resultado y las explicaciones de debajo: Eliminación de Gauss-Jordan con cada operación de fila y la matriz tras cada una, Regla de Cramer para sistemas de 2 × 2 y 3 × 3, y Comprobación en las ecuaciones originales.

Todos los cálculos son exactos: la herramienta trabaja con fracciones, nunca con decimales redondeados, así que 1/3 sigue siendo 1/3. Junto a las respuestas fraccionarias se muestra una aproximación decimal.

El método de Gauss, paso a paso

Primero el sistema se escribe como matriz ampliada: una fila por ecuación, una columna por incógnita y los términos independientes detrás de una barra vertical. Tres operaciones de fila cambian la matriz sin cambiar las soluciones:

• intercambiar dos filas (F₁ ↔ F₂);
• multiplicar una fila por un número distinto de cero (F₁ → F₁ ÷ 2);
• sumar a una fila un múltiplo de otra (F₂ → F₂ − 3F₁).

La herramienta trabaja columna por columna. Elige un pivote, preferiblemente un elemento igual a 1 o −1 para evitar fracciones, lo coloca en su sitio intercambiando filas, divide la fila para que el pivote valga 1 y después anula el resto de la columna en todas las demás filas. Es la variante de Gauss-Jordan: al final la matriz queda en forma escalonada reducida y la solución se lee directamente en la última columna.

Una solución, ninguna o infinitas

• Una única solución (sistema compatible determinado): cada incógnita tiene un pivote. El rango es igual al número de incógnitas.
• Sin solución (sistema incompatible): una fila queda como 0 = 5 (coeficientes nulos, término independiente no nulo). Las ecuaciones se contradicen; con dos incógnitas, las rectas son paralelas.
• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado): algunas incógnitas no tienen pivote. Se convierten en parámetros libres (t, s…) y las demás se expresan en función de ellos, por ejemplo x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Cada valor de t da una solución.

La regla de Cramer

En un sistema cuadrado Ax = b con det(A) ≠ 0, cada incógnita es det(Aᵢ) ÷ det(A), donde Aᵢ es A con la columna i sustituida por los términos independientes. La herramienta muestra los determinantes: ad − bc para 2 × 2 y el desarrollo por la primera fila para 3 × 3. Si det(A) = 0 la regla no se aplica, y la eliminación indica si no hay solución o hay infinitas. Para sistemas mayores la eliminación es mucho más rápida, por eso la regla de Cramer solo se muestra hasta 3 × 3.