حل المعادلات الخطية وأنظمتها

كيفية حل نظام معادلات بهذه الأداة

1. اكتب معادلاتك في خانة المعادلات (واحدة في كل سطر)، مثل 2x + 3y = 7 وx − y = 1. يمكن أن تكون المجاهيل أي حروف لاتينية (x وy وz وa وb…) أو أسماء مثل x1 وx2، أما الحروف العربية مثل س وص فلا تُقبل. ويمكن أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة أو عشرية (0.5) أو كسورًا (1/2 أو (1/2)x)، ويمكن أن تظهر الثوابت في الطرفين: 3x + 4 = 2x − 1 تعمل.
2. تظهر الإجابة أثناء الكتابة. ويؤدي زر حلّ الشيء نفسه، ويحمّل زر مثال نظامًا كلاسيكيًا 3 × 3، ويفرّغ زر مسح كل شيء، وينسخ زر نسخ الحل.
3. تفضّل جدولًا؟ افتح شبكة المعاملات، واختر حجم الشبكة (من 2 × 2 إلى 5 × 5) واملأ المعاملات، مع الثوابت في العمود الذي يلي علامة =. الخلية الفارغة تُحسب 0. وتبقى الشبكة والمعادلات متزامنتين.
4. اقرأ النتيجة والشروح تحتها: حذف جاوس–جوردان مع كل عملية على الصفوف والمصفوفة بعد كل منها، وقاعدة كرامر للأنظمة 2 × 2 و3 × 3، والتحقق في المعادلات الأصلية.

كل الحسابات دقيقة: تعمل الأداة بالكسور لا بالأعداد العشرية المقرّبة، فيبقى 1/3 كما هو 1/3. وتظهر قيمة عشرية تقريبية بجانب الإجابات الكسرية. تُكتب المعادلات والمصفوفات من اليسار إلى اليمين كما في الكتب المدرسية.

حذف جاوس خطوة بخطوة

يُكتب النظام أولًا على صورة مصفوفة موسّعة: صف لكل معادلة، وعمود لكل مجهول، والثوابت بعد خط عمودي. وثلاث عمليات على الصفوف تغيّر المصفوفة دون أن تغيّر الحلول:

• تبديل صفين (R₁ ↔ R₂)؛
• ضرب صف في عدد غير صفري (R₁ → R₁ ÷ 2)؛
• إضافة مضاعف لصف آخر (R₂ → R₂ − 3R₁).

تعمل الأداة عمودًا عمودًا. فتختار محورًا، مفضّلةً عنصرًا يساوي 1 أو −1 لتجنّب الكسور، وتنقله إلى موضعه بالتبديل، وتقسم الصف ليصبح المحور 1، ثم تصفّر بقية العمود في كل الصفوف الأخرى. هذه هي طريقة جاوس–جوردان: في النهاية تكون المصفوفة على الصورة الدرجية المختزلة، ويُقرأ الحل مباشرة من العمود الأخير.

حل وحيد أم لا حل أم عدد لا نهائي من الحلول

• حل وحيد: لكل مجهول محور، والرتبة تساوي عدد المجاهيل.
• لا يوجد حل: يصبح أحد الصفوف 0 = 5 (معاملات صفرية وثابت غير صفري). المعادلات متناقضة، وفي حالة مجهولين يكون المستقيمان متوازيين.
• عدد لا نهائي من الحلول: بعض المجاهيل بلا محور. فتصبح وسائط حرة (t وs…) وتُعبَّر المجاهيل الأخرى بدلالتها، مثل x = 1 + t وy = 5 − 2t وz = t. وكل قيمة لـ t تعطي حلًا.

قاعدة كرامر

في النظام المربع Ax = b حيث det(A) ≠ 0، يساوي كل مجهول det(Aᵢ) ÷ det(A)، حيث Aᵢ هي المصفوفة A بعد استبدال العمود i بالثوابت. تعرض الأداة المحددات: ad − bc للمصفوفة 2 × 2، والنشر على الصف الأول للمصفوفة 3 × 3. وعندما det(A) = 0 لا تنطبق القاعدة، ويخبرك الحذف هل لا يوجد حل أم يوجد عدد لا نهائي من الحلول. أما في الأنظمة الأكبر فالحذف أسرع بكثير، لذا لا تُعرض قاعدة كرامر إلا حتى 3 × 3.