Kalkulator Sistem Persamaan Linear

Cara menyelesaikan sistem persamaan dengan alat ini

1. Ketik persamaan Anda di Persamaan (satu per baris), misalnya 2x + 3y = 7 dan x − y = 1. Variabel bisa berupa huruf apa pun (x, y, z, a, b…) atau nama seperti x1 dan x2. Koefisien boleh berupa bilangan bulat, desimal (0,5), atau pecahan (1/2 atau (1/2)x), dan konstanta boleh muncul di kedua ruas: 3x + 4 = 2x − 1 bisa dipakai.
2. Jawaban muncul saat Anda mengetik. Selesaikan melakukan hal yang sama, Contoh memuat sistem 3 × 3 yang klasik, Hapus mengosongkan semuanya, dan Salin menyalin penyelesaiannya.
3. Lebih suka tabel? Buka Tabel koefisien, pilih Ukuran tabel (2 × 2 sampai 5 × 5), lalu isi koefisiennya, dengan konstanta di kolom setelah tanda =. Sel kosong dihitung 0. Tabel dan persamaan selalu sinkron.
4. Baca hasilnya dan penjelasan di bawahnya: Eliminasi Gauss–Jordan dengan setiap operasi baris dan matriks setelah masing-masing operasi, Aturan Cramer untuk sistem 2 × 2 dan 3 × 3, serta Periksa pada persamaan asli.

Setiap perhitungan eksak: alat ini bekerja dengan pecahan, tidak pernah dengan desimal yang dibulatkan, sehingga 1/3 tetap 1/3. Perkiraan desimal ditampilkan di samping jawaban berbentuk pecahan.

Eliminasi Gauss, langkah demi langkah

Sistem pertama-tama ditulis sebagai matriks yang diperbesar: satu baris untuk setiap persamaan, satu kolom untuk setiap variabel, dan konstanta setelah garis vertikal. Tiga operasi baris mengubah matriks tanpa mengubah penyelesaiannya:

• menukar dua baris (R₁ ↔ R₂);
• mengalikan sebuah baris dengan bilangan bukan nol (R₁ → R₁ ÷ 2);
• menambahkan kelipatan baris lain (R₂ → R₂ − 3R₁).

Alat ini bekerja kolom demi kolom. Alat ini memilih pivot, dengan mengutamakan entri yang sama dengan 1 atau −1 untuk menghindari pecahan, menukarnya ke tempatnya, membagi baris sehingga pivot menjadi 1, lalu membersihkan sisa kolom di setiap baris lain. Inilah varian Gauss–Jordan: pada akhirnya matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi dan penyelesaiannya dapat dibaca langsung dari kolom terakhir.

Satu, tidak ada, atau tak berhingga banyaknya penyelesaian

• Satu penyelesaian: setiap variabel memiliki pivot. Rank sama dengan banyaknya variabel.
• Tidak ada penyelesaian: sebuah baris menjadi 0 = 5 (koefisien nol, konstanta bukan nol). Persamaan-persamaan itu saling bertentangan; untuk dua variabel, garis-garisnya sejajar.
• Penyelesaian tak berhingga banyaknya: beberapa variabel tidak memiliki pivot. Variabel-variabel itu menjadi parameter bebas (t, s…) dan variabel lainnya dinyatakan dengan parameter tersebut, misalnya x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Setiap nilai t menghasilkan satu penyelesaian.

Aturan Cramer

Untuk sistem persegi Ax = b dengan det(A) ≠ 0, setiap variabel sama dengan det(Aᵢ) ÷ det(A), di mana Aᵢ adalah A dengan kolom ke-i diganti konstanta. Alat ini menampilkan determinannya: ad − bc untuk 2 × 2, dan ekspansi menurut baris pertama untuk 3 × 3. Jika det(A) = 0, aturan ini tidak berlaku, dan eliminasi memberi tahu apakah tidak ada penyelesaian atau tak berhingga banyaknya. Untuk sistem yang lebih besar, eliminasi jauh lebih cepat, sehingga aturan Cramer hanya ditampilkan sampai 3 × 3.