Risolutore di equazioni e sistemi lineari

Come risolvere un sistema di equazioni con questo strumento

1. Scrivi le equazioni in Equazioni (una per riga), ad esempio 2x + 3y = 7 e x − y = 1. Le incognite possono essere lettere qualsiasi (x, y, z, a, b…) o nomi come x1 e x2. I coefficienti possono essere interi, decimali (0,5) o frazioni (1/2 oppure (1/2)x), e i termini noti possono stare da entrambe le parti: 3x + 4 = 2x − 1 funziona.
2. La soluzione compare mentre scrivi. Risolvi fa la stessa cosa, Esempio carica un classico sistema 3 × 3, Cancella svuota tutto e Copia copia la soluzione.
3. Preferisci una tabella? Apri Griglia dei coefficienti, scegli la Dimensione della griglia (da 2 × 2 a 5 × 5) e inserisci i coefficienti, con i termini noti nella colonna dopo il segno =. Una cella vuota vale 0. La griglia e le equazioni restano sincronizzate.
4. Leggi il risultato e le spiegazioni sotto: Eliminazione di Gauss–Jordan con ogni operazione sulle righe e la matrice dopo ciascuna, Regola di Cramer per i sistemi 2 × 2 e 3 × 3, e Verifica nelle equazioni originali.

Ogni calcolo è esatto: lo strumento lavora con le frazioni, mai con decimali arrotondati, quindi 1/3 resta 1/3. Accanto alle soluzioni frazionarie viene mostrato un valore decimale approssimato.

Il metodo di eliminazione di Gauss, passo dopo passo

Il sistema viene prima scritto come matrice completa: una riga per equazione, una colonna per incognita, e i termini noti dopo una barra verticale. Tre operazioni sulle righe modificano la matrice senza cambiare le soluzioni:

• scambiare due righe (R₁ ↔ R₂);
• moltiplicare una riga per un numero diverso da zero (R₁ → R₁ ÷ 2);
• sommare a una riga un multiplo di un’altra (R₂ → R₂ − 3R₁).

Lo strumento procede colonna per colonna. Sceglie un pivot, preferendo un elemento uguale a 1 o −1 per evitare frazioni, lo porta in posizione con uno scambio, divide la riga perché il pivot diventi 1, poi annulla il resto della colonna in tutte le altre righe. È la variante di Gauss–Jordan: alla fine la matrice è in forma a scala ridotta e la soluzione si legge direttamente nell’ultima colonna.

Una, nessuna o infinite soluzioni

• Una sola soluzione: ogni incognita ha un pivot. Il rango è uguale al numero di incognite (sistema determinato).
• Nessuna soluzione: una riga diventa 0 = 5 (coefficienti nulli, termine noto diverso da zero). Le equazioni si contraddicono e il sistema è impossibile; con due incognite le rette sono parallele.
• Infinite soluzioni: alcune incognite non hanno pivot (sistema indeterminato). Diventano parametri liberi (t, s…) e le altre incognite vengono espresse in funzione di essi, ad esempio x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Ogni valore di t dà una soluzione.

La regola di Cramer

Per un sistema quadrato Ax = b con det(A) ≠ 0, ogni incognita vale det(Aᵢ) ÷ det(A), dove Aᵢ è la matrice A con la colonna i sostituita dai termini noti. Lo strumento mostra i determinanti: ad − bc per il 2 × 2 e lo sviluppo lungo la prima riga per il 3 × 3. Quando det(A) = 0 la regola non si applica, e l’eliminazione ti dice se non ci sono soluzioni o se ce ne sono infinite. Per sistemi più grandi l’eliminazione è molto più rapida, quindi la regola di Cramer è mostrata solo fino al 3 × 3.