Utilia
Kategorier ▾
Språk: sv ▾

Lös ekvationssystem

Lös linjära ekvationssystem (2×2, 3×3, upp till 5×5) exakt med bråk, alla radoperationer i gausselimination, Cramers regel och kontroll av svaret.

Skriv ekvationer som 2x + 3y = 7 eller 1/2a − b = 0,5. Upp till 5 ekvationer och 5 obekanta. Rutnätet nedan följer kvadratiska system.

Koefficientrutnät

Koefficienter till vänster, konstanter efter =. En tom ruta räknas som 0.

Lösning

–

Så löser du ett ekvationssystem med verktyget

  1. Skriv dina ekvationer i Ekvationer (en per rad), till exempel 2x + 3y = 7 och x − y = 1. Obekanta kan vara vilka bokstäver som helst (x, y, z, a, b …) eller namn som x1 och x2. Koefficienter kan vara heltal, decimaltal (0,5) eller bråk (1/2 eller (1/2)x), och konstanter får stå på båda sidor: 3x + 4 = 2x − 1 fungerar.
  2. Svaret visas medan du skriver. Lös gör samma sak, Exempel laddar ett klassiskt 3 × 3-system, Rensa tömmer allt och Kopiera kopierar lösningen.
  3. Föredrar du en tabell? Öppna Koefficientrutnät, välj Rutnätets storlek (2 × 2 till 5 × 5) och fyll i koefficienterna, med konstanterna i kolumnen efter likhetstecknet. En tom ruta räknas som 0. Rutnätet och ekvationerna hålls synkroniserade.
  4. Läs resultatet och förklaringarna under det: Gauss–Jordan-elimination med varje radoperation och matrisen efter var och en, Cramers regel för 2 × 2- och 3 × 3-system och Kontroll i de ursprungliga ekvationerna.

Varje beräkning är exakt: verktyget arbetar med bråk, aldrig med avrundade decimaltal, så 1/3 förblir 1/3. En decimal approximation visas bredvid bråkformade svar.

Gausselimination steg för steg

Systemet skrivs först som en utvidgad matris: en rad per ekvation, en kolumn per obekant och konstanterna efter ett lodrätt streck. Tre radoperationer ändrar matrisen utan att ändra lösningarna:

  • byt plats på två rader (R₁ ↔ R₂)
  • multiplicera en rad med ett tal skilt från noll (R₁ → R₁ ÷ 2)
  • addera en multipel av en annan rad (R₂ → R₂ − 3R₁).

Verktyget arbetar kolumn för kolumn. Det väljer ett pivotelement, helst ett som är 1 eller −1 för att undvika bråk, byter in det på rätt plats, dividerar raden så att pivotelementet blir 1 och rensar sedan resten av kolumnen i alla andra rader. Detta är Gauss–Jordan-varianten: i slutet är matrisen på reducerad trappstegsform och lösningen kan läsas direkt i sista kolumnen.

En, ingen eller oändligt många lösningar

  • En lösning: varje obekant har ett pivotelement. Rangen är lika med antalet obekanta.
  • Ingen lösning: en rad blir 0 = 5 (nollkoefficienter, konstant skild från noll). Ekvationerna motsäger varandra. Med två obekanta är linjerna parallella.
  • Oändligt många lösningar: vissa obekanta saknar pivotelement. De blir fria parametrar (t, s …) och de andra obekanta uttrycks med dem, till exempel x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Varje värde på t ger en lösning.

Cramers regel

För ett kvadratiskt system Ax = b med det(A) ≠ 0 är varje obekant lika med det(Aᵢ) ÷ det(A), där Aᵢ är A med kolumn i ersatt av konstanterna. Verktyget visar determinanterna: ad − bc för 2 × 2 och utvecklingen längs första raden för 3 × 3. När det(A) = 0 kan regeln inte användas, och elimineringen talar om om det saknas lösning eller finns oändligt många. För större system är elimination mycket snabbare, så Cramers regel visas bara upp till 3 × 3.

Vanliga frågor

Kan det lösa en enda linjär ekvation?

Ja. Skriv en ekvation som 3x + 4 = 2x − 1 så ger verktyget x = −5. Med en ekvation och två obekanta ger det den allmänna lösningen med en parameter.

Hur stora system stöds?

Upp till 5 ekvationer och 5 obekanta. Antalet ekvationer kan skilja sig från antalet obekanta. Rutnätet är till för kvadratiska system, medan textrutan tar emot vilken form som helst.

Varför är svaren bråk?

Därför att de är exakta. Avrundade decimaltal skulle ackumulera fel under elimineringen. Decimalvärdet visas bredvid varje bråk.

Hur skriver jag en saknad obekant i en ekvation?

Utelämna den helt: x + z = 3 betyder att koefficienten för y är 0. I rutnätet lämnar du rutan tom eller skriver 0.

Vad betyder rangen?

Rangen är antalet pivotelement, alltså antalet oberoende ekvationer. Med n obekanta betyder rang n en lösning. En lägre rang betyder fria parametrar, såvida inte systemet är motsägelsefullt.

Kan jag använda komma som decimaltecken?

Ja, på svenska sidor är komma decimaltecken: 1,5 läses som 1,5 och 0,5 som 0,5. En punkt följd av exakt tre siffror, som 1.500, läses som ett tusentalsavgränsande tecken (1 500). Om du vill ha två ekvationer på samma rad skiljer du dem åt med semikolon.

Relaterade verktyg