Lineaarvõrrandi ja võrrandisüsteemi lahendaja

Kuidas selle tööriistaga võrrandisüsteemi lahendada

1. Sisesta oma võrrandid väljale Võrrandid (üks igal real), näiteks 2x + 3y = 7 ja x − y = 1. Tundmatud võivad olla suvalised tähed (x, y, z, a, b…) või nimed nagu x1 ja x2. Kordajad võivad olla täisarvud, kümnendmurrud (0,5) või murrud (1/2 või (1/2)x) ning konstandid võivad olla mõlemal pool: 3x + 4 = 2x − 1 töötab.
2. Vastus ilmub sisestamise ajal. Lahenda teeb sama, Näide laeb klassikalise 3 × 3 süsteemi, Tühjenda tühjendab kõik ja Kopeeri kopeerib lahendi.
3. Eelistad tabelit? Ava Kordajate ruudustik, vali Ruudustiku suurus (2 × 2 kuni 5 × 5) ja täida kordajad, konstandid märgi = järel olevasse veergu. Tühi lahter loetakse nulliks. Ruudustik ja võrrandid püsivad sünkroonis.
4. Loe tulemust ja selle all olevaid selgitusi: Gaussi–Jordani elimineerimine koos iga reatehte ja maatriksiga pärast seda, Cramer’i valem 2 × 2 ja 3 × 3 süsteemide jaoks ning Kontroll algsetes võrrandites.

Iga arvutus on täpne: tööriist töötab murdudega, mitte kunagi ümardatud kümnendmurdudega, seega jääb 1/3 alati 1/3-ks. Murdvastuse kõrval näidatakse kümnendlähendit.

Gaussi meetod samm-sammult

Süsteem kirjutatakse esmalt laiendatud maatriksina: iga võrrand on üks rida, iga tundmatu üks veerg ja konstandid on püstjoone järel. Kolm reatehet muudavad maatriksit lahendeid muutmata:

• kahe rea vahetamine (R₁ ↔ R₂);
• rea korrutamine nullist erineva arvuga (R₁ → R₁ ÷ 2);
• teise rea kordse liitmine (R₂ → R₂ − 3R₁).

Tööriist töötab veerg veeru haaval. See valib pöördeelemendi, eelistades murdude vältimiseks 1 või −1, vahetab selle õigele kohale, jagab rea nii, et pöördeelement saab 1-ks, ning nullib seejärel veeru ülejäänud elemendid kõigis teistes ridades. See on Gaussi–Jordani variant: lõpuks on maatriks taandatud astmelisel kujul ja lahendi saab lugeda otse viimasest veerust.

Üks lahend, lahendid puuduvad või lõpmata palju lahendeid

• Üks lahend: igal tundmatul on pöördeelement. Auaste võrdub tundmatute arvuga.
• Lahendid puuduvad: üks rida muutub kujule 0 = 5 (nullkordajad, nullist erinev konstant). Võrrandid on omavahel vastuolus; kahe tundmatu korral on sirged paralleelsed.
• Lõpmata palju lahendeid: mõnel tundmatul pole pöördeelementi. Neist saavad vabad parameetrid (t, s…) ja teised tundmatud avaldatakse nende kaudu, näiteks x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Iga t väärtus annab ühe lahendi.

Cramer’i valem

Ruutsüsteemi Ax = b korral, kus det(A) ≠ 0, on iga tundmatu võrdne suhtega det(Aᵢ) ÷ det(A), kus Aᵢ on maatriks A, mille veerg i on asendatud konstantidega. Tööriist näitab determinante: ad − bc 2 × 2 puhul ja arendus esimese rea järgi 3 × 3 puhul. Kui det(A) = 0, siis valem ei kehti ja elimineerimine ütleb, kas lahendeid pole või on neid lõpmata palju. Suuremate süsteemide puhul on elimineerimine palju kiirem, seepärast näidatakse Cramer’i valemit ainult kuni 3 × 3.