Rješavač sistema linearnih jednačina

Kako riješiti sistem jednačina ovim alatom

1. Upiši jednačine u polje Jednačine (jedna u svakom redu), na primjer 2x + 3y = 7 i x − y = 1. Nepoznate mogu biti bilo koja slova (x, y, z, a, b…) ili nazivi poput x1 i x2. Koeficijenti mogu biti cijeli brojevi, decimale (0,5) ili razlomci (1/2 ili (1/2)x), a konstante se mogu pojaviti na obje strane: 3x + 4 = 2x − 1 radi.
2. Odgovor se pojavljuje dok kucaš. Riješi radi isto, Primjer učitava klasičan sistem 3 × 3, Obriši briše sve, a Kopiraj kopira rješenje.
3. Voliš tabelu? Otvori Tabela koeficijenata, odaberi Veličina tabele (2 × 2 do 5 × 5) i unesi koeficijente, a konstante u kolonu iza znaka =. Prazna ćelija se računa kao 0. Tabela i jednačine ostaju usklađene.
4. Pročitaj rezultat i objašnjenja ispod njega: Gauss–Jordanova eliminacija sa svakom operacijom nad redovima i matricom poslije svake, Cramerovo pravilo za sisteme 2 × 2 i 3 × 3 te Provjera u originalnim jednačinama.

Svaki račun je tačan: alat radi s razlomcima, nikad sa zaokruženim decimalama, pa 1/3 ostaje 1/3. Pored razlomljenih odgovora prikazuje se i decimalna aproksimacija.

Gaussova eliminacija korak po korak

Sistem se prvo zapisuje kao proširena matrica: jedan red po jednačini, jedna kolona po nepoznatoj, a konstante iza okomite crte. Tri operacije nad redovima mijenjaju matricu bez promjene rješenja:

• zamjena dva reda (R₁ ↔ R₂);
• množenje reda brojem različitim od nule (R₁ → R₁ ÷ 2);
• dodavanje višekratnika drugog reda (R₂ → R₂ − 3R₁).

Alat radi kolonu po kolonu. Bira pivot, dajući prednost elementu jednakom 1 ili −1 da izbjegne razlomke, dovodi ga na mjesto zamjenom redova, dijeli red tako da pivot postane 1, a zatim poništava ostatak kolone u svim drugim redovima. To je Gauss–Jordanova varijanta: na kraju je matrica u reduciranom stepenastom obliku i rješenje se čita direktno iz posljednje kolone.

Jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rješenja

• Jedno rješenje: svaka nepoznata ima pivot. Rang je jednak broju nepoznatih.
• Nema rješenja: neki red postaje 0 = 5 (nulti koeficijenti, konstanta različita od nule). Jednačine su međusobno protivrječne; kod dvije nepoznate prave su paralelne.
• Beskonačno mnogo rješenja: neke nepoznate nemaju pivot. One postaju slobodni parametri (t, s…), a ostale se izražavaju preko njih, na primjer x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Svaka vrijednost t daje jedno rješenje.

Cramerovo pravilo

Za kvadratni sistem Ax = b s det(A) ≠ 0, svaka nepoznata je jednaka det(Aᵢ) ÷ det(A), gdje je Aᵢ matrica A s kolonom i zamijenjenom konstantama. Alat prikazuje determinante: ad − bc za 2 × 2 i razvoj po prvom redu za 3 × 3. Kad je det(A) = 0, pravilo se ne primjenjuje, a eliminacija govori ima li sistem nijedno ili beskonačno mnogo rješenja. Za veće sisteme eliminacija je mnogo brža, pa se Cramerovo pravilo prikazuje samo do 3 × 3.

Alat radi u tvom pregledniku. Ništa što upišeš ne šalje se na server.