Resolver equações e sistemas lineares

Como resolver um sistema de equações com esta ferramenta

1. Escreve as tuas equações em Equações (uma por linha), por exemplo 2x + 3y = 7 e x − y = 1. As incógnitas podem ser quaisquer letras (x, y, z, a, b…) ou nomes como x1 e x2. Os coeficientes podem ser inteiros, decimais com vírgula (0,5) ou frações (1/2 ou (1/2)x), e pode haver constantes dos dois lados: 3x + 4 = 2x − 1 funciona.
2. A resposta aparece enquanto escreves. Resolver faz o mesmo, Exemplo carrega um sistema 3 × 3 clássico, Limpar apaga tudo e Copiar copia a solução.
3. Preferes uma tabela? Abre a Grelha de coeficientes, escolhe o Tamanho da grelha (de 2 × 2 a 5 × 5) e preenche os coeficientes, com os termos independentes na coluna a seguir ao sinal =. Uma célula vazia conta como 0. A grelha e as equações ficam sincronizadas.
4. Lê o resultado e as explicações por baixo: Eliminação de Gauss–Jordan com cada operação sobre as linhas e a matriz depois de cada uma, Regra de Cramer para sistemas 2 × 2 e 3 × 3, e Verificação nas equações originais.

Todos os cálculos são exatos: a ferramenta trabalha com frações, nunca com decimais arredondados, por isso 1/3 continua a ser 1/3. Ao lado das respostas fracionárias aparece uma aproximação decimal.

Método de Gauss, passo a passo

O sistema é primeiro escrito como matriz ampliada: uma linha por equação, uma coluna por incógnita e os termos independentes depois de uma barra vertical. Três operações elementares alteram a matriz sem alterar as soluções:

• trocar duas linhas (R₁ ↔ R₂);
• multiplicar uma linha por um número diferente de zero (R₁ → R₁ ÷ 2);
• somar a uma linha um múltiplo de outra (R₂ → R₂ − 3R₁).

Nos passos, as linhas aparecem como R₁, R₂, R₃… (do inglês «row»); nos manuais portugueses é comum escrever L₁, L₂, L₃, mas o significado é o mesmo.

A ferramenta trabalha coluna a coluna. Escolhe um pivô, de preferência um elemento igual a 1 ou −1 para evitar frações, coloca-o no lugar com uma troca, divide a linha para que o pivô passe a 1 e depois anula o resto da coluna em todas as outras linhas. É a variante de Gauss–Jordan: no fim, a matriz está na forma escalonada reduzida e a solução lê-se diretamente na última coluna.

Uma, nenhuma ou infinitas soluções

• Uma única solução (sistema possível e determinado): todas as incógnitas têm um pivô. A característica é igual ao número de incógnitas.
• Sem solução (sistema impossível): uma linha fica 0 = 5 (coeficientes nulos, termo independente não nulo). As equações contradizem-se; com duas incógnitas, as retas são paralelas.
• Infinitas soluções (sistema possível e indeterminado): algumas incógnitas não têm pivô. Passam a ser parâmetros livres (t, s…) e as outras incógnitas exprimem-se em função deles, por exemplo x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Cada valor de t dá uma solução.

Regra de Cramer

Num sistema quadrado Ax = b com det(A) ≠ 0, cada incógnita é igual a det(Aᵢ) ÷ det(A), em que Aᵢ é a matriz A com a coluna i substituída pelos termos independentes. A ferramenta mostra os determinantes: ad − bc para 2 × 2 e o desenvolvimento pela primeira linha para 3 × 3. Quando det(A) = 0 a regra não se aplica, e a eliminação diz-te se não há solução ou se há infinitas. Em sistemas maiores a eliminação é muito mais rápida, por isso a regra de Cramer só aparece até 3 × 3.