Řešení soustavy rovnic

Jak vyřešit soustavu rovnic v tomto nástroji

1. Do pole Rovnice (jedna na řádek) napiš rovnice, například 2x + 3y = 7 a x − y = 1. Neznámé mohou být libovolná písmena (x, y, z, a, b…) nebo názvy jako x1 a x2. Koeficienty mohou být celá čísla, desetinná čísla (0,5) nebo zlomky (1/2 či (1/2)x) a konstanty mohou stát na obou stranách: 3x + 4 = 2x − 1 funguje.
2. Odpověď se objeví už při psaní. Vyřešit dělá totéž, Příklad načte klasickou soustavu 3 × 3, Vymazat všechno vyprázdní a Kopírovat zkopíruje řešení.
3. Dáváš přednost tabulce? Otevři Tabulku koeficientů, vyber Velikost tabulky (od 2 × 2 do 5 × 5) a vyplň koeficienty, přičemž konstanty patří do sloupce za znaménkem =. Prázdná buňka se počítá jako 0. Tabulka a rovnice zůstávají synchronizované.
4. Přečti si výsledek a vysvětlení pod ním: Gaussova–Jordanova eliminace s každou řádkovou úpravou a maticí po každé z nich, Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 × 2 a 3 × 3 a Zkouška v původních rovnicích.

Každý výpočet je přesný: nástroj počítá se zlomky, nikdy se zaokrouhlenými desetinnými čísly, takže 1/3 zůstává 1/3. Vedle zlomkových odpovědí se zobrazuje desetinná aproximace.

Nástroj funguje ve tvém prohlížeči. Nic, co zadáš, se neodesílá na server.

Gaussova eliminace krok za krokem

Soustava se nejprve zapíše jako rozšířená matice: jeden řádek na rovnici, jeden sloupec na neznámou a konstanty za svislou čárou. Tři řádkové úpravy mění matici, aniž by měnily řešení:

• výměna dvou řádků (R₁ ↔ R₂);
• vynásobení řádku nenulovým číslem (R₁ → R₁ ÷ 2);
• přičtení násobku jiného řádku (R₂ → R₂ − 3R₁).

Nástroj postupuje sloupec po sloupci. Zvolí pivot, přednostně prvek rovný 1 nebo −1, aby se vyhnul zlomkům, přesune ho na místo, řádek vydělí tak, aby pivot byl 1, a pak vynuluje zbytek sloupce ve všech ostatních řádcích. To je Gaussova–Jordanova varianta: na konci je matice v redukovaném odstupňovaném tvaru a řešení lze přečíst přímo z posledního sloupce.

Jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení

• Jedno řešení: každá neznámá má pivot. Hodnost se rovná počtu neznámých.
• Žádné řešení: některý řádek se změní na 0 = 5 (nulové koeficienty, nenulová konstanta). Rovnice si odporují; u dvou neznámých jsou přímky rovnoběžné.
• Nekonečně mnoho řešení: některé neznámé nemají pivot. Stávají se volnými parametry (t, s…) a ostatní neznámé se vyjádří pomocí nich, například x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Každá hodnota t dává jedno řešení.

Cramerovo pravidlo

Pro čtvercovou soustavu Ax = b s det(A) ≠ 0 se každá neznámá rovná det(Aᵢ) ÷ det(A), kde Aᵢ je matice A se sloupcem i nahrazeným konstantami. Nástroj ukazuje determinanty: ad − bc pro 2 × 2 a rozvoj podle prvního řádku pro 3 × 3. Když det(A) = 0, pravidlo nelze použít a eliminace ti řekne, zda řešení není žádné, nebo jich je nekonečně mnoho. U větších soustav je eliminace mnohem rychlejší, a proto se Cramerovo pravidlo zobrazuje jen do 3 × 3.