Utilia
Κατηγορίες ▾
Γλώσσα: el ▾

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων

Λύστε σύστημα γραμμικών εξισώσεων (2×2, 3×3, έως 5×5) ακριβώς με κλάσματα, με κάθε πράξη γραμμών της απαλοιφής Gauss, κανόνα Cramer και επαλήθευση.

Πληκτρολογήστε εξισώσεις όπως 2x + 3y = 7 ή 1/2a − b = 0,5. Έως 5 εξισώσεις και 5 άγνωστοι· το πλέγμα παρακάτω ακολουθεί τα τετραγωνικά συστήματα.

Πλέγμα συντελεστών

Οι συντελεστές στα αριστερά, οι σταθεροί όροι μετά το =. Ένα κενό κελί μετράει ως 0.

Λύση

–

Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων με αυτό το εργαλείο

  1. Πληκτρολογήστε τις εξισώσεις σας στο πεδίο Εξισώσεις (μία ανά γραμμή), για παράδειγμα 2x + 3y = 7 και x − y = 1. Οι άγνωστοι μπορούν να είναι οποιαδήποτε γράμματα (x, y, z, a, b…) ή ονόματα όπως x1 και x2. Οι συντελεστές μπορούν να είναι ακέραιοι, δεκαδικοί (0,5) ή κλάσματα (1/2 ή (1/2)x), και οι σταθεροί όροι μπορούν να βρίσκονται και στα δύο μέλη: το 3x + 4 = 2x − 1 δουλεύει.
  2. Η απάντηση εμφανίζεται καθώς πληκτρολογείτε. Η Επίλυση κάνει το ίδιο, το Παράδειγμα φορτώνει ένα κλασικό σύστημα 3 × 3, η Εκκαθάριση αδειάζει τα πάντα και η Αντιγραφή αντιγράφει τη λύση.
  3. Προτιμάτε πίνακα; Ανοίξτε το Πλέγμα συντελεστών, επιλέξτε το Μέγεθος πλέγματος (2 × 2 έως 5 × 5) και συμπληρώστε τους συντελεστές, με τους σταθερούς όρους στη στήλη μετά το σύμβολο =. Ένα κενό κελί μετράει ως 0. Το πλέγμα και οι εξισώσεις μένουν συγχρονισμένα.
  4. Διαβάστε το αποτέλεσμα και τις εξηγήσεις από κάτω: Απαλοιφή Gauss–Jordan με κάθε πράξη γραμμών και τον πίνακα μετά από καθεμία, Κανόνας του Cramer για συστήματα 2 × 2 και 3 × 3, και Επαλήθευση στις αρχικές εξισώσεις.

Κάθε υπολογισμός είναι ακριβής: το εργαλείο δουλεύει με κλάσματα και ποτέ με στρογγυλοποιημένους δεκαδικούς, οπότε το 1/3 μένει 1/3. Δίπλα στις κλασματικές απαντήσεις εμφανίζεται μια δεκαδική προσέγγιση.

Απαλοιφή Gauss βήμα προς βήμα

Το σύστημα γράφεται πρώτα ως επαυξημένος πίνακας: μία γραμμή ανά εξίσωση, μία στήλη ανά άγνωστο και οι σταθεροί όροι μετά από μια κάθετη γραμμή. Τρεις πράξεις γραμμών αλλάζουν τον πίνακα χωρίς να αλλάζουν τις λύσεις:

  • εναλλαγή δύο γραμμών (R₁ ↔ R₂)·
  • πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με μη μηδενικό αριθμό (R₁ → R₁ ÷ 2)·
  • πρόσθεση πολλαπλασίου μιας άλλης γραμμής (R₂ → R₂ − 3R₁).

Το εργαλείο δουλεύει στήλη προς στήλη. Διαλέγει έναν οδηγό, προτιμώντας στοιχείο ίσο με 1 ή −1 για να αποφύγει τα κλάσματα, τον φέρνει στη θέση του με εναλλαγή, διαιρεί τη γραμμή ώστε ο οδηγός να γίνει 1 και μετά μηδενίζει την υπόλοιπη στήλη σε κάθε άλλη γραμμή. Αυτή είναι η παραλλαγή Gauss–Jordan: στο τέλος ο πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή και η λύση διαβάζεται απευθείας από την τελευταία στήλη.

Μία, καμία ή άπειρες λύσεις

  • Μία λύση: κάθε άγνωστος έχει οδηγό. Η τάξη ισούται με το πλήθος των αγνώστων.
  • Καμία λύση: μια γραμμή γίνεται 0 = 5 (μηδενικοί συντελεστές, μη μηδενικός σταθερός όρος). Οι εξισώσεις αντιφάσκουν· με δύο αγνώστους οι ευθείες είναι παράλληλες.
  • Άπειρες λύσεις: ορισμένοι άγνωστοι δεν έχουν οδηγό. Γίνονται ελεύθερες παράμετροι (t, s…) και οι υπόλοιποι άγνωστοι εκφράζονται συναρτήσει αυτών, για παράδειγμα x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Κάθε τιμή του t δίνει μία λύση.

Κανόνας του Cramer

Για ένα τετραγωνικό σύστημα Ax = b με det(A) ≠ 0, κάθε άγνωστος ισούται με det(Aᵢ) ÷ det(A), όπου Aᵢ είναι ο A με τη στήλη i αντικατεστημένη από τους σταθερούς όρους. Το εργαλείο δείχνει τις ορίζουσες: ad − bc για 2 × 2 και ανάπτυγμα ως προς την πρώτη γραμμή για 3 × 3. Όταν det(A) = 0 ο κανόνας δεν εφαρμόζεται και η απαλοιφή σας λέει αν δεν υπάρχει λύση ή αν υπάρχουν άπειρες. Για μεγαλύτερα συστήματα η απαλοιφή είναι πολύ ταχύτερη, γι’ αυτό ο κανόνας του Cramer εμφανίζεται μέχρι 3 × 3.

Συχνές ερωτήσεις

Μπορεί να λύσει μία μόνο γραμμική εξίσωση;

Ναι. Πληκτρολογήστε μία εξίσωση όπως 3x + 4 = 2x − 1 και το εργαλείο δίνει x = −5. Με μία εξίσωση και δύο αγνώστους, δίνει τη γενική λύση με παράμετρο.

Ποιο μέγεθος συστήματος υποστηρίζεται;

Έως 5 εξισώσεις και 5 άγνωστοι. Το πλήθος των εξισώσεων μπορεί να διαφέρει από το πλήθος των αγνώστων· το πλέγμα είναι για τετραγωνικά συστήματα, ενώ η περιοχή κειμένου δέχεται οποιοδήποτε σχήμα.

Γιατί οι απαντήσεις είναι κλάσματα;

Επειδή είναι ακριβείς. Οι στρογγυλοποιημένοι δεκαδικοί θα συσσώρευαν σφάλματα κατά την απαλοιφή. Η δεκαδική τιμή εμφανίζεται δίπλα σε κάθε κλάσμα.

Πώς εισάγω έναν άγνωστο που λείπει από μια εξίσωση;

Απλώς παραλείψτε τον: το x + z = 3 σημαίνει ότι ο συντελεστής του y είναι 0. Στο πλέγμα, αφήστε το κελί κενό ή πληκτρολογήστε 0.

Τι σημαίνει η τάξη;

Η τάξη είναι το πλήθος των οδηγών, δηλαδή το πλήθος των ανεξάρτητων εξισώσεων. Με n αγνώστους, τάξη n σημαίνει μία λύση· μικρότερη τάξη αφήνει ελεύθερες παραμέτρους, εκτός αν το σύστημα είναι αδύνατο.

Να χρησιμοποιήσω κόμμα ή τελεία ως δεκαδικό σύμβολο;

Σε αυτή τη σελίδα το κόμμα είναι το δεκαδικό σύμβολο: το 0,5 σημαίνει ένα δεύτερο. Για να χωρίσετε δύο εξισώσεις στην ίδια γραμμή, χρησιμοποιήστε το ερωτηματικό.

Σχετικά εργαλεία