Rezolvare ecuații și sisteme liniare

Cum rezolvi un sistem de ecuații cu acest instrument

1. Scrie ecuațiile în Ecuații (câte una pe rând), de exemplu 2x + 3y = 7 și x − y = 1. Necunoscutele pot fi orice litere (x, y, z, a, b…) sau nume precum x1 și x2. Coeficienții pot fi numere întregi, zecimale (0,5) sau fracții (1/2 sau (1/2)x), iar termenii liberi pot apărea de ambele părți: 3x + 4 = 2x − 1 funcționează.
2. Răspunsul apare pe măsură ce scrii. Rezolvă face același lucru, Exemplu încarcă un sistem 3 × 3 clasic, Șterge golește totul, iar Copiază copiază soluția.
3. Preferi un tabel? Deschide Grila coeficienților, alege Dimensiunea grilei (de la 2 × 2 la 5 × 5) și completează coeficienții, cu termenii liberi în coloana de după semnul =. O celulă goală se consideră 0. Grila și ecuațiile rămân sincronizate.
4. Citește rezultatul și explicațiile de sub el: Eliminarea Gauss–Jordan, cu fiecare operație pe rânduri și matricea după fiecare, Regula lui Cramer pentru sisteme 2 × 2 și 3 × 3 și Verificare în ecuațiile inițiale.

Fiecare calcul este exact: instrumentul lucrează cu fracții, niciodată cu zecimale rotunjite, deci 1/3 rămâne 1/3. Lângă răspunsurile fracționare se afișează și o aproximare zecimală.

Metoda lui Gauss, pas cu pas

Sistemul se scrie mai întâi ca matrice extinsă: un rând pentru fiecare ecuație, o coloană pentru fiecare necunoscută, iar termenii liberi după o bară verticală. Trei operații pe rânduri schimbă matricea fără să schimbe soluțiile:

• schimbarea a două rânduri între ele (R₁ ↔ R₂);
• înmulțirea unui rând cu un număr nenul (R₁ → R₁ ÷ 2);
• adunarea unui multiplu al altui rând (R₂ → R₂ − 3R₁).

Instrumentul lucrează coloană cu coloană. Alege un pivot, preferând un element egal cu 1 sau −1, ca să evite fracțiile, îl aduce la locul lui prin schimbare de rânduri, împarte rândul astfel încât pivotul să devină 1, apoi șterge restul coloanei în toate celelalte rânduri. Aceasta este varianta Gauss–Jordan: la final matricea este în forma redusă pe linii, iar soluția se citește direct din ultima coloană.

O soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții

• O soluție: fiecare necunoscută are un pivot. Rangul este egal cu numărul de necunoscute.
• Nicio soluție: un rând devine 0 = 5 (coeficienți zero, termen liber nenul). Ecuațiile se contrazic; pentru două necunoscute, dreptele sunt paralele.
• Infinit de multe soluții: unele necunoscute nu au pivot. Ele devin parametri liberi (t, s…), iar celelalte necunoscute se exprimă în funcție de ei, de exemplu x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Fiecare valoare a lui t dă o soluție.

Regula lui Cramer

Pentru un sistem pătratic Ax = b cu det(A) ≠ 0, fiecare necunoscută este egală cu det(Aᵢ) ÷ det(A), unde Aᵢ este A cu coloana i înlocuită cu termenii liberi. Instrumentul arată determinanții: ad − bc pentru 2 × 2 și dezvoltarea după prima linie pentru 3 × 3. Când det(A) = 0, regula nu se aplică, iar eliminarea îți spune dacă nu există nicio soluție sau există o infinitate. Pentru sisteme mai mari, eliminarea este mult mai rapidă, de aceea regula lui Cramer se arată doar până la 3 × 3.