Lineáris egyenlet és egyenletrendszer megoldó

Hogyan oldj meg egyenletrendszert ezzel az eszközzel

1. Írd be az egyenleteidet az Egyenletek (soronként egy) mezőbe, például 2x + 3y = 7 és x − y = 1. Az ismeretlenek tetszőleges betűk (x, y, z, a, b…) vagy nevek, például x1 és x2 lehetnek. Az együtthatók lehetnek egészek, tizedestörtek (0,5) vagy törtek (1/2 vagy (1/2)x), az állandók pedig mindkét oldalon szerepelhetnek: a 3x + 4 = 2x − 1 működik.
2. A válasz gépelés közben megjelenik. A Megoldás gomb ugyanezt teszi, a Példa egy klasszikus 3 × 3-as rendszert tölt be, a Törlés mindent kiüríti, a Másolás pedig a megoldást másolja.
3. Szívesebben használsz táblázatot? Nyisd meg az Együtthatórács részt, válaszd ki a Rácsméret értékét (2 × 2-től 5 × 5-ig), és töltsd ki az együtthatókat, az állandókat az = jel utáni oszlopba írva. Az üres cella 0-nak számít. A rács és az egyenletek szinkronban maradnak.
4. Olvasd le az eredményt és az alatta lévő magyarázatokat: a Gauss–Jordan-elimináció minden sorművelettel és az utána kapott mátrixszal, a Cramer-szabály 2 × 2-es és 3 × 3-as rendszerekhez, valamint az Ellenőrzés az eredeti egyenletekben.

Minden számítás pontos: az eszköz törtekkel dolgozik, soha nem kerekített tizedesekkel, így az 1/3 megmarad 1/3-nak. A törtválaszok mellett tizedes közelítés is látható.

Gauss-elimináció lépésről lépésre

Az egyenletrendszert először bővített mátrixként írjuk fel: egyenletenként egy sor, ismeretlenenként egy oszlop, az állandók pedig függőleges vonal után állnak. Három sorművelet változtatja a mátrixot a megoldások megváltoztatása nélkül:

• két sor cseréje (S₁ ↔ S₂);
• egy sor szorzása nullától különböző számmal (S₁ → S₁ ÷ 2);
• egy másik sor többszörösének hozzáadása (S₂ → S₂ − 3S₁).

Az eszköz oszloponként halad. Kiválaszt egy generáló elemet, törtek elkerülésére az 1-gyel vagy −1-gyel egyenlőt részesíti előnyben, a helyére cseréli, elosztja a sort, hogy a generáló elem 1 legyen, majd kinullázza az oszlop többi elemét minden másik sorban. Ez a Gauss–Jordan-változat: a végén a mátrix redukált lépcsős alakban van, és a megoldás közvetlenül leolvasható az utolsó oszlopból.

Egy, nulla vagy végtelen sok megoldás

• Egy megoldás: minden ismeretlenhez tartozik generáló elem. A rang megegyezik az ismeretlenek számával.
• Nincs megoldás: egy sor 0 = 5 alakú lesz (nulla együtthatók, nem nulla állandó). Az egyenletek ellentmondanak egymásnak; két ismeretlennél az egyenesek párhuzamosak.
• Végtelen sok megoldás: egyes ismeretlenekhez nem tartozik generáló elem. Ezek szabad paraméterekké (t, s…) válnak, a többi ismeretlent pedig ezekkel fejezzük ki, például x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. A t minden értéke egy megoldást ad.

Cramer-szabály

Egy Ax = b négyzetes rendszerre, ha det(A) ≠ 0, minden ismeretlen det(Aᵢ) ÷ det(A), ahol Aᵢ az A mátrix, az i. oszlopát az állandókra cserélve. Az eszköz megmutatja a determinánsokat: 2 × 2-esnél ad − bc, 3 × 3-asnál a kifejtést az első sor szerint. Ha det(A) = 0, a szabály nem alkalmazható, és az elimináció megmondja, hogy nincs megoldás vagy végtelen sok van. Nagyobb rendszereknél az elimináció sokkal gyorsabb, ezért a Cramer-szabályt csak 3 × 3-asig mutatja.