Løser til ligninger og ligningssystemer

Sådan løser du et ligningssystem med dette værktøj

1. Skriv dine ligninger i Ligninger (én pr. linje), for eksempel 2x + 3y = 7 og x − y = 1. Ubekendte kan være vilkårlige bogstaver (x, y, z, a, b …) eller navne som x1 og x2. Koefficienter kan være hele tal, decimaltal (0,5) eller brøker (1/2 eller (1/2)x), og konstanter kan stå på begge sider: 3x + 4 = 2x − 1 virker.
2. Svaret vises, mens du skriver. Løs gør det samme, Eksempel indlæser et klassisk 3 × 3-system, Ryd tømmer alt, og Kopiér kopierer løsningen.
3. Foretrækker du en tabel? Åbn Koefficienttabel, vælg Tabellens størrelse (2 × 2 til 5 × 5) og udfyld koefficienterne, med konstanterne i søjlen efter =. En tom celle tæller som 0. Tabellen og ligningerne holdes synkroniseret.
4. Læs resultatet og forklaringerne under det: Gauss–Jordan-elimination med hver rækkeoperation og matricen efter hver af dem, Cramers regel for 2 × 2- og 3 × 3-systemer og Kontrol i de oprindelige ligninger.

Alle beregninger er eksakte: værktøjet arbejder med brøker og aldrig med afrundede decimaltal, så 1/3 forbliver 1/3. En decimaltilnærmelse vises ved siden af brøksvar.

Gauss-elimination trin for trin

Systemet skrives først som en udvidet matrix: én række pr. ligning, én søjle pr. ubekendt og konstanterne efter en lodret streg. Tre rækkeoperationer ændrer matricen uden at ændre løsningerne:

• byt to rækker (R₁ ↔ R₂);
• gang en række med et tal forskelligt fra nul (R₁ → R₁ ÷ 2);
• læg et multiplum af en anden række til (R₂ → R₂ − 3R₁).

Værktøjet arbejder søjle for søjle. Det vælger et pivotelement, helst et element lig med 1 eller −1 for at undgå brøker, bytter det på plads, dividerer rækken, så pivotelementet bliver 1, og nulstiller derefter resten af søjlen i alle andre rækker. Det er Gauss–Jordan-varianten: til sidst står matricen på reduceret trappeform, og løsningen kan aflæses direkte i sidste søjle.

Én, ingen eller uendeligt mange løsninger

• Én løsning: hver ubekendt har et pivotelement. Rangen er lig med antallet af ubekendte.
• Ingen løsning: en række bliver til 0 = 5 (nul som koefficienter, konstant forskellig fra nul). Ligningerne modsiger hinanden; for to ubekendte er linjerne parallelle.
• Uendeligt mange løsninger: nogle ubekendte har intet pivotelement. De bliver frie parametre (t, s …), og de andre ubekendte udtrykkes ved dem, for eksempel x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Hver værdi af t giver én løsning.

Cramers regel

For et kvadratisk system Ax = b med det(A) ≠ 0 er hver ubekendt lig med det(Aᵢ) ÷ det(A), hvor Aᵢ er A med søjle i erstattet af konstanterne. Værktøjet viser determinanterne: ad − bc for 2 × 2 og udvikling efter første række for 3 × 3. Når det(A) = 0, kan reglen ikke bruges, og eliminationen fortæller, om der ingen løsning er eller uendeligt mange. For større systemer er elimination meget hurtigere, så Cramers regel vises kun op til 3 × 3.

Alt regnes lokalt i din browser. Intet, du indtaster, sendes til en server.