Solver ng System of Equations

Paano lutasin ang system of equations gamit ang tool na ito

1. I-type ang iyong mga equation sa Mga equation (isa kada linya), halimbawa 2x + 3y = 7 at x − y = 1. Puwedeng anumang letra ang mga unknown (x, y, z, a, b…) o pangalan tulad ng x1 at x2. Puwedeng integer, decimal (0.5) o fraction (1/2 o (1/2)x) ang mga coefficient, at puwedeng nasa magkabilang panig ang mga constant: gumagana ang 3x + 4 = 2x − 1.
2. Lumalabas ang sagot habang nagta-type ka. Ganoon din ang ginagawa ng Lutasin, naglo-load ang Halimbawa ng klasikong 3 × 3 na system, binubura ng I-clear ang lahat at kinokopya ng Kopyahin ang solusyon.
3. Mas gusto ang table? Buksan ang Grid ng mga coefficient, piliin ang Laki ng grid (2 × 2 hanggang 5 × 5) at punan ang mga coefficient, na nasa column pagkatapos ng = ang mga constant. Ang walang lamang cell ay itinuturing na 0. Magkasabay ang grid at ang mga equation.
4. Basahin ang resulta at ang mga paliwanag sa ibaba nito: Gauss–Jordan elimination na may bawat operasyon sa hilera at ang matrix pagkatapos ng bawat isa, ang Tuntunin ni Cramer para sa mga 2 × 2 at 3 × 3 na system, at Suriin sa orihinal na mga equation.

Eksakto ang bawat kalkulasyon: fraction ang gamit ng tool, hindi bilugang decimal, kaya nananatiling 1/3 ang 1/3. May decimal na approximation sa tabi ng mga sagot na fraction.

Gaussian elimination, hakbang-hakbang

Isinusulat muna ang system bilang augmented matrix: isang hilera kada equation, isang column kada unknown, at ang mga constant pagkatapos ng patayong guhit. Tatlong operasyon sa hilera ang nagbabago sa matrix nang hindi binabago ang mga solusyon:

• ipagpalit ang dalawang hilera (R₁ ↔ R₂);
• i-multiply ang isang hilera sa numerong hindi zero (R₁ → R₁ ÷ 2);
• idagdag ang multiple ng ibang hilera (R₂ → R₂ − 3R₁).

Column by column ang trabaho ng tool. Pumipili ito ng pivot, mas gusto ang entry na 1 o −1 para maiwasan ang fraction, inilalagay ito sa tamang puwesto, hinahati ang hilera para maging 1 ang pivot, at saka nililinis ang natitirang bahagi ng column sa bawat ibang hilera. Ito ang Gauss–Jordan na bersyon: sa dulo, nasa reduced row echelon form ang matrix at direktang mababasa ang solusyon sa huling column.

Isa, wala o walang katapusang solusyon

• Isang solusyon: may pivot ang bawat unknown. Katumbas ng bilang ng unknown ang rank.
• Walang solusyon: nagiging 0 = 5 ang isang hilera (zero ang mga coefficient, hindi zero ang constant). Magkasalungat ang mga equation; sa dalawang unknown, magkaparalelo ang mga guhit.
• Walang katapusang solusyon: may mga unknown na walang pivot. Nagiging libreng parameter ang mga ito (t, s…) at ipinapahayag ang ibang unknown sa mga ito, halimbawa x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Bawat halaga ng t ay nagbibigay ng isang solusyon.

Tuntunin ni Cramer

Para sa parisukat na system na Ax = b na det(A) ≠ 0, ang bawat unknown ay katumbas ng det(Aᵢ) ÷ det(A), kung saan ang Aᵢ ay ang A na may column i na pinalitan ng mga constant. Ipinapakita ng tool ang mga determinant: ad − bc para sa 2 × 2, at ang expansion sa unang hilera para sa 3 × 3. Kapag det(A) = 0, hindi ma-aapply ang tuntunin, at sinasabi ng elimination kung walang solusyon o walang katapusan ang mga ito. Sa mas malalaking system, mas mabilis ang elimination, kaya hanggang 3 × 3 lang ipinapakita ang tuntunin ni Cramer.