Utilia
Kategórie ▾
Jazyk: sk ▾

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Vyrieš sústavu lineárnych rovníc (2×2, 3×3 až 5×5) presne so zlomkami, so všetkými riadkovými úpravami Gaussovej metódy, Cramerovým pravidlom a skúškou.

Zadaj rovnice, napríklad 2x + 3y = 7 alebo 1/2a − b = 0,5. Najviac 5 rovníc a 5 neznámych; mriežka nižšie sleduje štvorcové sústavy.

Mriežka koeficientov

Koeficienty vľavo, konštanty za znakom =. Prázdna bunka sa počíta ako 0.

Riešenie

–

Ako vyriešiť sústavu rovníc týmto nástrojom

  1. Do poľa Rovnice (jedna na riadok) napíš rovnice, napríklad 2x + 3y = 7 a x − y = 1. Neznáme môžu byť ľubovoľné písmená (x, y, z, a, b…) alebo názvy ako x1 a x2. Koeficienty môžu byť celé čísla, desatinné čísla (0,5) alebo zlomky (1/2 alebo (1/2)x) a konštanty sa môžu vyskytovať na oboch stranách: funguje aj 3x + 4 = 2x − 1.
  2. Odpoveď sa zobrazuje pri písaní. Vyriešiť urobí to isté, Príklad načíta klasickú sústavu 3 × 3, Vymazať všetko vyprázdni a Kopírovať skopíruje riešenie.
  3. Máš radšej tabuľku? Otvor Mriežku koeficientov, vyber Veľkosť mriežky (2 × 2 až 5 × 5) a vyplň koeficienty, pričom konštanty patria do stĺpca za znakom =. Prázdna bunka sa počíta ako 0. Mriežka a rovnice zostávajú synchronizované.
  4. Prečítaj si výsledok a vysvetlenia pod ním: Gaussovu–Jordanovu elimináciu so všetkými riadkovými úpravami a maticou po každej z nich, Cramerovo pravidlo pre sústavy 2 × 2 a 3 × 3 a Skúšku v pôvodných rovniciach.

Každý výpočet je presný: nástroj pracuje so zlomkami, nikdy so zaokrúhlenými desatinnými číslami, takže 1/3 zostane 1/3. Vedľa zlomkových odpovedí sa zobrazuje aj desatinné priblíženie.

Gaussova eliminácia krok za krokom

Sústava sa najprv zapíše ako rozšírená matica: jeden riadok na rovnicu, jeden stĺpec na neznámu a konštanty za zvislou čiarou. Tri riadkové úpravy menia maticu bez toho, aby zmenili riešenia:

  • výmena dvoch riadkov (R₁ ↔ R₂);
  • vynásobenie riadka nenulovým číslom (R₁ → R₁ ÷ 2);
  • pripočítanie násobku iného riadka (R₂ → R₂ − 3R₁).

Nástroj pracuje stĺpec po stĺpci. Vyberie pivot, pričom uprednostní prvok rovný 1 alebo −1, aby sa vyhol zlomkom, presunie ho na miesto, vydelí riadok tak, aby sa pivot stal 1, a potom vynuluje zvyšok stĺpca vo všetkých ostatných riadkoch. Je to Gaussova–Jordanova varianta: na konci je matica v redukovanom riadkovom stupňovitom tvare a riešenie možno čítať priamo z posledného stĺpca.

Jedno riešenie, žiadne alebo nekonečne veľa

  • Jedno riešenie: každá neznáma má pivot. Hodnosť sa rovná počtu neznámych.
  • Žiadne riešenie: riadok sa zmení na 0 = 5 (nulové koeficienty, nenulová konštanta). Rovnice si odporujú; pri dvoch neznámych sú priamky rovnobežné.
  • Nekonečne veľa riešení: niektoré neznáme nemajú pivot. Stanú sa voľnými parametrami (t, s…) a ostatné neznáme sa vyjadria pomocou nich, napríklad x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Každá hodnota t dáva jedno riešenie.

Cramerovo pravidlo

Pri štvorcovej sústave Ax = b s det(A) ≠ 0 sa každá neznáma rovná det(Aᵢ) ÷ det(A), kde Aᵢ je matica A so stĺpcom i nahradeným konštantami. Nástroj ukazuje determinanty: ad − bc pre 2 × 2 a rozvoj podľa prvého riadka pre 3 × 3. Keď det(A) = 0, pravidlo sa nedá použiť a eliminácia ti povie, či riešenie neexistuje, alebo je ich nekonečne veľa. Pri väčších sústavách je eliminácia omnoho rýchlejšia, preto sa Cramerovo pravidlo zobrazuje len do 3 × 3.

Často kladené otázky

Dokáže vyriešiť aj jednu lineárnu rovnicu?

Áno. Zadaj jednu rovnicu, napríklad 3x + 4 = 2x − 1, a nástroj dá x = −5. Pri jednej rovnici s dvoma neznámymi dá všeobecné riešenie s parametrom.

Aká veľká sústava sa podporuje?

Najviac 5 rovníc a 5 neznámych. Počet rovníc sa môže líšiť od počtu neznámych; mriežka je pre štvorcové sústavy, textové pole prijme ľubovoľný tvar.

Prečo sú odpovede zlomky?

Lebo sú presné. Zaokrúhlené desatinné čísla by pri eliminácii kumulovali chyby. Desatinná hodnota sa zobrazuje vedľa každého zlomku.

Ako zadám v rovnici chýbajúcu neznámu?

Jednoducho ju vynechaj: x + z = 3 znamená, že koeficient pri y je 0. V mriežke nechaj bunku prázdnu alebo napíš 0.

Čo znamená hodnosť?

Hodnosť je počet pivotov, teda počet nezávislých rovníc. Pri n neznámych znamená hodnosť n jedno riešenie; menšia hodnosť znamená voľné parametre, pokiaľ nie je sústava nezlučiteľná.

Môžem ako desatinný oddeľovač použiť čiarku?

Áno, na slovenskej stránke je čiarka desatinným oddeľovačom (0,5). Bodka s presne tromi číslicami za ňou, ako v 1.500, sa číta ako oddeľovač tisícov, kým 1.5 je 1,5. Ak chceš dať dve rovnice do jedného riadka, oddeľ ich bodkočiarkou.

Súvisiace nástroje