Lineaarisen yhtälön ja yhtälöryhmän ratkaisija

Näin ratkaiset yhtälöryhmän tällä työkalulla

1. Kirjoita yhtälösi kenttään Yhtälöt (yksi per rivi), esimerkiksi 2x + 3y = 7 ja x − y = 1. Tuntemattomat voivat olla mitä tahansa kirjaimia (x, y, z, a, b…) tai nimiä, kuten x1 ja x2. Kertoimet voivat olla kokonaislukuja, desimaalilukuja (0,5) tai murtolukuja (1/2 tai (1/2)x), ja vakiot voivat olla yhtälön molemmilla puolilla: 3x + 4 = 2x − 1 toimii.
2. Vastaus ilmestyy kirjoittaessasi. Ratkaise tekee saman, Esimerkki lataa klassisen 3 × 3 -ryhmän, Tyhjennä tyhjentää kaiken ja Kopioi kopioi ratkaisun.
3. Pidätkö taulukosta? Avaa Kerroinruudukko, valitse Ruudukon koko (2 × 2 – 5 × 5) ja täytä kertoimet niin, että vakiot ovat =-merkin jälkeisessä sarakkeessa. Tyhjä solu lasketaan nollaksi. Ruudukko ja yhtälöt pysyvät synkronoituina.
4. Lue tulos ja sen alla olevat selitykset: Gaussin–Jordanin eliminointi jokaisine rivioperaatioineen ja matriisineen kunkin jälkeen, Cramerin sääntö 2 × 2- ja 3 × 3 -ryhmille sekä Tarkistus alkuperäisistä yhtälöistä.

Jokainen lasku on tarkka: työkalu käyttää murtolukuja eikä koskaan pyöristettyjä desimaalilukuja, joten 1/3 pysyy muodossa 1/3. Murtolukuvastausten viereen näytetään desimaalilukuarvio. Laskenta tapahtuu selaimessasi, eikä kirjoittamaasi lähetetä palvelimelle.

Gaussin eliminointi vaihe vaiheelta

Yhtälöryhmä kirjoitetaan ensin laajennettuna matriisina: yksi rivi per yhtälö, yksi sarake per tuntematon ja vakiot pystyviivan jälkeen. Kolme rivioperaatiota muuttaa matriisia muuttamatta ratkaisuja:

• vaihda kaksi riviä (R₁ ↔ R₂);
• kerro rivi nollasta poikkeavalla luvulla (R₁ → R₁ ÷ 2);
• lisää toisen rivin monikerta (R₂ → R₂ − 3R₁).

Työkalu etenee sarake kerrallaan. Se valitsee pivotin, mieluiten arvon 1 tai −1 murtolukujen välttämiseksi, vaihtaa sen paikalleen, jakaa rivin niin, että pivotista tulee 1, ja nollaa sitten sarakkeen muut alkiot kaikilta muilta riveiltä. Tämä on Gaussin–Jordanin muunnelma: lopuksi matriisi on redusoidussa porrasmuodossa ja ratkaisun voi lukea suoraan viimeisestä sarakkeesta.

Yksi, ei yhtään tai äärettömän monta ratkaisua

• Yksi ratkaisu: jokaisella tuntemattomalla on pivot. Matriisin aste on yhtä suuri kuin tuntemattomien määrä.
• Ei ratkaisua: rivistä tulee 0 = 5 (nollakertoimet, nollasta poikkeava vakio). Yhtälöt ovat keskenään ristiriidassa; kahden tuntemattoman tapauksessa suorat ovat yhdensuuntaiset.
• Äärettömän monta ratkaisua: joillakin tuntemattomilla ei ole pivotia. Ne muuttuvat vapaiksi parametreiksi (t, s…) ja muut tuntemattomat lausutaan niiden avulla, esimerkiksi x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Jokainen t:n arvo antaa yhden ratkaisun.

Cramerin sääntö

Neliömäisessä ryhmässä Ax = b, jossa det(A) ≠ 0, jokainen tuntematon on det(Aᵢ) ÷ det(A), missä Aᵢ on A, jossa sarake i on korvattu vakioilla. Työkalu näyttää determinantit: ad − bc 2 × 2 -tapauksessa ja kehitys ensimmäisen rivin mukaan 3 × 3 -tapauksessa. Kun det(A) = 0, sääntö ei päde, ja eliminointi kertoo, onko ratkaisuja nolla vai äärettömän monta. Suuremmille ryhmille eliminointi on paljon nopeampi, joten Cramerin sääntö näytetään vain 3 × 3 -kokoon asti.