Gleichungssystem-Rechner

So lösen Sie ein Gleichungssystem mit diesem Tool

1. Tippen Sie Ihre Gleichungen in das Feld Gleichungen (eine pro Zeile), zum Beispiel 2x + 3y = 7 und x − y = 1. Als Unbekannte sind beliebige Buchstaben (x, y, z, a, b …) oder Namen wie x1 und x2 möglich. Koeffizienten können ganze Zahlen, Dezimalzahlen (0,5) oder Brüche (1/2 oder (1/2)x) sein, und Konstanten dürfen auf beiden Seiten stehen: 3x + 4 = 2x − 1 funktioniert.
2. Die Lösung erscheint schon während der Eingabe. Lösen bewirkt dasselbe, Beispiel lädt ein klassisches 3 × 3-System, Leeren löscht alles, und Kopieren kopiert die Lösung.
3. Lieber eine Tabelle? Öffnen Sie das Koeffizientenraster, wählen Sie die Rastergröße (2 × 2 bis 5 × 5) und tragen Sie die Koeffizienten ein, die Konstanten in die Spalte nach dem Gleichheitszeichen. Eine leere Zelle zählt als 0. Raster und Gleichungen bleiben synchron.
4. Lesen Sie das Ergebnis und die Erklärungen darunter: das Gauß-Jordan-Verfahren mit jeder Zeilenumformung und der Matrix danach, die Cramersche Regel für 2 × 2- und 3 × 3-Systeme und die Probe in den ursprünglichen Gleichungen.

Jede Rechnung ist exakt: Das Tool arbeitet mit Brüchen, nie mit gerundeten Dezimalzahlen, sodass 1/3 auch 1/3 bleibt. Neben gebrochenen Ergebnissen steht zusätzlich ein Dezimalwert. Alles läuft lokal in Ihrem Browser.

Das Gauß-Verfahren Schritt für Schritt

Das System wird zuerst als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben: eine Zeile pro Gleichung, eine Spalte pro Unbekannte und die Konstanten hinter einem senkrechten Strich. Drei Zeilenumformungen verändern die Matrix, ohne die Lösungsmenge zu ändern:

• zwei Zeilen vertauschen (Z₁ ↔ Z₂);
• eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren (Z₁ → Z₁ ÷ 2);
• ein Vielfaches einer anderen Zeile addieren (Z₂ → Z₂ − 3Z₁).

Das Tool arbeitet Spalte für Spalte. Es wählt ein Pivotelement – bevorzugt 1 oder −1, um Brüche zu vermeiden –, tauscht es an die richtige Stelle, teilt die Zeile, bis das Pivotelement 1 ist, und räumt dann die übrige Spalte in allen anderen Zeilen frei. Das ist die Gauß-Jordan-Variante: Am Ende steht die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform, und die Lösung lässt sich direkt in der letzten Spalte ablesen.

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

• Genau eine Lösung: Jede Unbekannte hat ein Pivotelement. Der Rang ist gleich der Anzahl der Unbekannten.
• Keine Lösung: Eine Zeile wird zu 0 = 5 (alle Koeffizienten null, Konstante ungleich null). Die Gleichungen widersprechen sich; bei zwei Unbekannten sind die Geraden parallel.
• Unendlich viele Lösungen: Einige Unbekannte haben kein Pivotelement. Sie werden zu freien Parametern (t, s …), und die übrigen Unbekannten werden durch sie ausgedrückt, zum Beispiel x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Jeder Wert von t liefert eine Lösung.

Die cramersche Regel

Für ein quadratisches System Ax = b mit det(A) ≠ 0 ist jede Unbekannte gleich det(Aᵢ) ÷ det(A), wobei Aᵢ die Matrix A ist, deren Spalte i durch die Konstanten ersetzt wurde. Das Tool zeigt die Determinanten: ad − bc bei 2 × 2 und die Entwicklung nach der ersten Zeile bei 3 × 3. Ist det(A) = 0, ist die Regel nicht anwendbar, und das Eliminationsverfahren zeigt, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Bei größeren Systemen ist die Elimination viel schneller, deshalb wird die cramersche Regel nur bis 3 × 3 gezeigt.