Utilia
Categories ▾
Idioma: ca ▾

Solucionador d'equacions i sistemes lineals

Resol un sistema d'equacions lineals (2×2, 3×3, fins a 5×5) de forma exacta amb fraccions, amb cada operació de Gauss, la regla de Cramer i la comprovació.

Escriu equacions com 2x + 3y = 7 o 1/2a − b = 0,5. Fins a 5 equacions i 5 incògnites; la quadrícula de sota segueix els sistemes quadrats.

Quadrícula de coeficients

Els coeficients a l'esquerra, les constants després de l'=. Una cel·la buida val 0.

Solució

–

Com resoldre un sistema d’equacions amb aquesta eina

  1. Escriu les teves equacions a Equacions (una per línia), per exemple 2x + 3y = 7 i x − y = 1. Les incògnites poden ser qualsevol lletra (x, y, z, a, b…) o noms com x1 i x2. Els coeficients poden ser enters, decimals (0,5) o fraccions (1/2 o (1/2)x), i les constants poden aparèixer als dos costats: 3x + 4 = 2x − 1 funciona.
  2. La resposta apareix mentre escrius. Resol fa el mateix, Exemple carrega un sistema 3 × 3 clàssic, Esborra ho buida tot i Copia copia la solució.
  3. Prefereixes una taula? Obre la Quadrícula de coeficients, tria la Mida de la quadrícula (de 2 × 2 a 5 × 5) i omple els coeficients, amb les constants a la columna posterior al signe =. Una cel·la buida val 0. La quadrícula i les equacions es mantenen sincronitzades.
  4. Llegeix el resultat i les explicacions de sota: l’Eliminació de Gauss–Jordan amb cada operació de files i la matriu després de cadascuna, la Regla de Cramer per a sistemes 2 × 2 i 3 × 3, i la Comprovació a les equacions originals.

Tots els càlculs són exactes: l’eina treballa amb fraccions, mai amb decimals arrodonits, de manera que 1/3 es queda en 1/3. Al costat de les respostes fraccionàries es mostra una aproximació decimal.

Eliminació de Gauss, pas a pas

El sistema s’escriu primer com a matriu ampliada: una fila per equació, una columna per incògnita, i les constants després d’una barra vertical. Tres operacions de files canvien la matriu sense canviar les solucions:

  • intercanviar dues files (F₁ ↔ F₂);
  • multiplicar una fila per un nombre diferent de zero (F₁ → F₁ ÷ 2);
  • sumar un múltiple d’una altra fila (F₂ → F₂ − 3F₁).

L’eina treballa columna per columna. Tria un pivot, preferint una entrada igual a 1 o −1 per evitar fraccions, el porta al seu lloc, divideix la fila perquè el pivot passi a ser 1 i després neteja la resta de la columna a totes les altres files. Aquesta és la variant de Gauss–Jordan: al final la matriu és en forma escalonada reduïda per files i la solució es pot llegir directament a l’última columna.

Una, cap o infinites solucions

  • Una solució: cada incògnita té un pivot. El rang és igual al nombre d’incògnites.
  • Cap solució: una fila passa a ser 0 = 5 (coeficients zero, constant diferent de zero). Les equacions es contradiuen; amb dues incògnites, les rectes són paral·leles.
  • Infinites solucions: algunes incògnites no tenen pivot. Passen a ser paràmetres lliures (t, s…) i les altres incògnites s’expressen en funció d’ells, per exemple x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Cada valor de t dona una solució.

Regla de Cramer

Per a un sistema quadrat Ax = b amb det(A) ≠ 0, cada incògnita és igual a det(Aᵢ) ÷ det(A), on Aᵢ és A amb la columna i substituïda per les constants. L’eina mostra els determinants: ad − bc per a 2 × 2, i el desenvolupament per la primera fila per a 3 × 3. Quan det(A) = 0 la regla no s’aplica, i l’eliminació t’indica si no hi ha cap solució o n’hi ha infinites. Per a sistemes més grans l’eliminació és molt més ràpida, per això la regla de Cramer només es mostra fins a 3 × 3.

Preguntes freqüents

Pot resoldre una sola equació lineal?

Sí. Escriu una equació com 3x + 4 = 2x − 1 i l’eina dona x = −5. Amb una equació i dues incògnites, dona la solució general amb un paràmetre.

Quina mida de sistema s'admet?

Fins a 5 equacions i 5 incògnites. El nombre d’equacions pot ser diferent del d’incògnites; la quadrícula és per a sistemes quadrats, l’àrea de text accepta qualsevol forma.

Per què les respostes són fraccions?

Perquè són exactes. Els decimals arrodonits acumularien errors durant l’eliminació. El valor decimal es mostra al costat de cada fracció.

Com introdueixo una incògnita que falta en una equació?

Simplement omet-la: x + z = 3 vol dir que el coeficient de y és 0. A la quadrícula, deixa la cel·la buida o escriu 0.

Què vol dir el rang?

El rang és el nombre de pivots, és a dir, el nombre d’equacions independents. Amb n incògnites, un rang n vol dir una solució; un rang més petit vol dir paràmetres lliures, tret que el sistema sigui incompatible.

Puc fer servir la coma com a separador decimal?

Sí: en català la coma és el separador decimal (0,5), i el punt també s’accepta. Per posar dues equacions en una mateixa línia, separa-les amb un punt i coma.

Eines relacionades