Rješavač sustava linearnih jednadžbi

Kako riješiti sustav jednadžbi ovim alatom

1. Upiši jednadžbe u polje Jednadžbe (jedna u svakom retku), na primjer 2x + 3y = 7 i x − y = 1. Nepoznanice mogu biti bilo koja slova (x, y, z, a, b…) ili nazivi poput x1 i x2. Koeficijenti mogu biti cijeli brojevi, decimale (0.5) ili razlomci (1/2 ili (1/2)x), a konstante se mogu pojaviti na objema stranama: 3x + 4 = 2x − 1 radi.
2. Odgovor se pojavljuje dok upisuješ. Riješi radi isto, Primjer učitava klasičan sustav 3 × 3, Očisti prazni sve, a Kopiraj kopira rješenje.
3. Voliš tablicu? Otvori Tablica koeficijenata, odaberi Veličina tablice (od 2 × 2 do 5 × 5) i unesi koeficijente, a konstante u stupac iza znaka =. Prazna ćelija vrijedi kao 0. Tablica i jednadžbe ostaju usklađene.
4. Pročitaj rezultat i objašnjenja ispod njega: Gauss–Jordanova eliminacija sa svakom operacijom nad retcima i matricom nakon svake od njih, Cramerovo pravilo za sustave 2 × 2 i 3 × 3 te Provjera u izvornim jednadžbama.

Svaki je izračun točan: alat radi s razlomcima, nikad sa zaokruženim decimalama, pa 1/3 ostaje 1/3. Uz razlomljene odgovore prikazuje se i decimalna aproksimacija.

Gaussova eliminacija korak po korak

Sustav se najprije zapisuje kao proširena matrica: jedan redak po jednadžbi, jedan stupac po nepoznanici, a konstante iza okomite crte. Tri operacije nad retcima mijenjaju matricu, a ne mijenjaju rješenja:

• zamjena dvaju redaka (R₁ ↔ R₂);
• množenje retka brojem različitim od nule (R₁ → R₁ ÷ 2);
• pribrajanje višekratnika drugog retka (R₂ → R₂ − 3R₁).

Alat radi stupac po stupac. Bira pivot, po mogućnosti element jednak 1 ili −1 da izbjegne razlomke, zamjenom ga dovodi na mjesto, dijeli redak tako da pivot postane 1, a zatim poništava ostatak stupca u svim drugim retcima. To je Gauss–Jordanova inačica: na kraju je matrica u reduciranom stepenastom obliku i rješenje se može izravno pročitati iz posljednjeg stupca.

Jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rješenja

• Jedno rješenje: svaka nepoznanica ima pivot. Rang je jednak broju nepoznanica.
• Nema rješenja: redak postaje 0 = 5 (nulti koeficijenti, konstanta različita od nule). Jednadžbe proturječe jedna drugoj; za dvije nepoznanice pravci su usporedni.
• Beskonačno mnogo rješenja: neke nepoznanice nemaju pivot. One postaju slobodni parametri (t, s…), a ostale se nepoznanice izražavaju preko njih, na primjer x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Svaka vrijednost parametra t daje jedno rješenje.

Cramerovo pravilo

Za kvadratni sustav Ax = b uz det(A) ≠ 0 svaka je nepoznanica jednaka det(Aᵢ) ÷ det(A), pri čemu je Aᵢ matrica A sa stupcem i zamijenjenim konstantama. Alat prikazuje determinante: ad − bc za 2 × 2 i razvoj po prvom retku za 3 × 3. Kad je det(A) = 0, pravilo se ne primjenjuje, a eliminacija pokazuje je li rješenja nema ili ih je beskonačno mnogo. Za veće sustave eliminacija je mnogo brža, pa se Cramerovo pravilo prikazuje samo do 3 × 3.