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Résoudre un système d'équations linéaires

Résolvez un système d'équations linéaires (2×2, 3×3, jusqu'à 5×5) en valeurs exactes : pivot de Gauss détaillé, règle de Cramer et vérification.

Saisissez des équations comme 2x + 3y = 7 ou 1/2a − b = 0,5. Jusqu'à 5 équations et 5 inconnues ; la grille ci-dessous suit les systèmes carrés.

Grille des coefficients

Coefficients à gauche, constantes après le signe =. Une case vide vaut 0.

Solution

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Comment résoudre un système avec cet outil

  1. Saisissez vos équations dans Équations (une par ligne), par exemple 2x + 3y = 7 et x − y = 1. Les inconnues peuvent être n’importe quelles lettres (x, y, z, a, b…) ou des noms comme x1 et x2. Les coefficients peuvent être entiers, décimaux (0,5) ou fractionnaires (1/2 ou (1/2)x), et des constantes peuvent figurer des deux côtés : 3x + 4 = 2x − 1 fonctionne.
  2. La solution s’affiche pendant la saisie. Le bouton Résoudre fait de même, Exemple charge un système 3 × 3 classique, Effacer vide tout et Copier copie la solution.
  3. Vous préférez un tableau ? Ouvrez la Grille des coefficients, choisissez la Taille de la grille (de 2 × 2 à 5 × 5) et remplissez les coefficients, les constantes allant dans la colonne après le signe =. Une case vide vaut 0. La grille et les équations restent synchronisées.
  4. Lisez le résultat puis les explications : Méthode du pivot de Gauss-Jordan avec chaque opération sur les lignes et la matrice obtenue, Règle de Cramer pour les systèmes 2 × 2 et 3 × 3, et Vérification dans les équations de départ.

Tous les calculs sont exacts : cet outil travaille en fractions, jamais en décimales arrondies, si bien que 1/3 reste 1/3. Une valeur approchée accompagne les résultats fractionnaires.

La méthode du pivot de Gauss pas à pas

Le système est d’abord écrit sous forme de matrice augmentée : une ligne par équation, une colonne par inconnue, et le second membre après une barre verticale. Trois opérations élémentaires modifient la matrice sans changer les solutions :

  • échanger deux lignes (R₁ ↔ R₂) ;
  • multiplier une ligne par un nombre non nul (R₁ → R₁ ÷ 2) ;
  • ajouter à une ligne un multiple d’une autre (R₂ → R₂ − 3R₁).

L’outil traite les colonnes une à une. Il choisit un pivot, de préférence égal à 1 ou −1 pour éviter les fractions, le place par un échange de lignes, divise la ligne pour ramener le pivot à 1, puis annule le reste de la colonne dans toutes les autres lignes. C’est la variante de Gauss-Jordan : on aboutit à une matrice échelonnée réduite, et la solution se lit directement dans la dernière colonne.

Solution unique, aucune solution ou infinité de solutions

  • Une solution unique : chaque inconnue possède un pivot ; le rang est égal au nombre d’inconnues.
  • Aucune solution : une ligne devient 0 = 5 (coefficients nuls, second membre non nul). Les équations se contredisent ; avec deux inconnues, les droites sont parallèles.
  • Une infinité de solutions : certaines inconnues n’ont pas de pivot. Elles deviennent des paramètres libres (t, s…) et les autres inconnues s’expriment en fonction d’eux, par exemple x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Chaque valeur de t donne une solution.

La règle de Cramer

Pour un système carré AX = B avec det(A) ≠ 0, chaque inconnue vaut det(Aᵢ) ÷ det(A), où Aᵢ est la matrice A dont la colonne i est remplacée par le second membre. L’outil détaille les déterminants : ad − bc en 2 × 2, et le développement selon la première ligne en 3 × 3. Si det(A) = 0, la règle ne s’applique pas ; le pivot de Gauss indique alors s’il n’y a aucune solution ou une infinité. Au-delà de 3 × 3, le pivot est bien plus rapide, c’est pourquoi Cramer n’est détaillé que jusqu’à cette taille.

Questions fréquentes

Peut-on résoudre une seule équation du premier degré ?

Oui. Tapez par exemple 3x + 4 = 2x − 1 et l’outil donne x = −5. Avec une seule équation à deux inconnues, il fournit la solution générale avec un paramètre.

Quelle taille de système est acceptée ?

Jusqu’à 5 équations et 5 inconnues. Le nombre d’équations peut différer du nombre d’inconnues : la grille sert aux systèmes carrés, la zone de texte accepte toutes les formes.

Pourquoi les résultats sont-ils des fractions ?

Parce qu’ils sont exacts. Des décimales arrondies accumuleraient des erreurs au fil des opérations. La valeur décimale est affichée à côté de chaque fraction.

Comment écrire une équation où une inconnue n'apparaît pas ?

Il suffit de l’omettre : x + z = 3 signifie que le coefficient de y est nul. Dans la grille, laissez la case vide ou tapez 0.

Que signifie le rang ?

Le rang est le nombre de pivots, c’est-à-dire le nombre d’équations indépendantes. Avec n inconnues, un rang égal à n donne une solution unique ; un rang plus petit laisse des paramètres libres, sauf si le système est incompatible.

Faut-il utiliser la virgule ou le point décimal ?

Sur cette page, la virgule est le séparateur décimal : 0,5 signifie un demi. Pour séparer deux équations sur une même ligne, utilisez le point-virgule.

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