Решавач на систем линеарни равенки

Како се решава систем равенки со оваа алатка

1. Внесете ги вашите равенки во полето Равенки (по една во ред), на пример 2x + 3y = 7 и x − y = 1. Непознатите можат да бидат кои било букви (x, y, z, a, b…) или имиња како x1 и x2. Коефициентите можат да бидат цели броеви, децимали (0.5) или дропки (1/2 или (1/2)x), а константите можат да стојат на двете страни: 3x + 4 = 2x − 1 работи.
2. Одговорот се појавува додека пишувате. Реши го прави истото, Пример вчитува класичен систем 3 × 3, Избриши сè празни, а Копирај го копира решението.
3. Претпочитате табела? Отворете Мрежа на коефициенти, изберете Големина на мрежата (од 2 × 2 до 5 × 5) и пополнете ги коефициентите, со константите во колоната по знакот =. Празна ќелија се смета за 0. Мрежата и равенките остануваат усогласени.
4. Прочитајте го резултатот и објаснувањата под него: Гаус–Жорданова елиминација со секоја операција над редовите и матрицата по секоја од нив, Крамерово правило за системи 2 × 2 и 3 × 3 и Проверка во почетните равенки.

Секоја пресметка е точна: алатката работи со дропки, никогаш со заокружени децимали, па 1/3 останува 1/3. Покрај дробните одговори се прикажува децимално приближување.

Гаусова елиминација, чекор по чекор

Системот најпрвин се запишува како проширена матрица: еден ред по равенка, една колона по непозната, а константите по вертикална црта. Три операции над редовите ја менуваат матрицата без да ги менуваат решенијата:

• размена на два реда (R₁ ↔ R₂);
• множење на ред со ненулти број (R₁ → R₁ ÷ 2);
• додавање на множител од друг ред (R₂ → R₂ − 3R₁).

Алатката работи колона по колона. Избира пивот, давајќи предност на елемент еднаков на 1 или −1 за да избегне дропки, го менува на место, го дели редот така што пивотот станува 1, па го чисти остатокот од колоната во секој друг ред. Ова е Гаус–Жорданова варијанта: на крајот матрицата е во сведена степенеста форма и решението може директно да се прочита од последната колона.

Едно, ниедно или бесконечно многу решенија

• Едно решение: секоја непозната има пивот. Рангот е еднаков на бројот на непознати.
• Нема решение: ред станува 0 = 5 (нулти коефициенти, ненулта константа). Равенките си противречат; кај две непознати правите се паралелни.
• Бесконечно многу решенија: некои непознати немаат пивот. Тие стануваат слободни параметри (t, s…), а другите непознати се изразуваат преку нив, на пример x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Секоја вредност на t дава едно решение.

Крамерово правило

За квадратен систем Ax = b со det(A) ≠ 0, секоја непозната е еднаква на det(Aᵢ) ÷ det(A), каде Aᵢ е A со колона i заменета со константите. Алатката ги прикажува детерминантите: ad − bc за 2 × 2 и развој по првиот ред за 3 × 3. Кога det(A) = 0 правилото не се применува, а елиминацијата ви кажува дали нема решение или има бесконечно многу. За поголеми системи елиминацијата е многу побрза, па Крамеровото правило се прикажува само до 3 × 3.

Алатката работи во вашиот прелистувач. Ништо од внесеното не се испраќа на сервер.