Lineāro vienādojumu sistēmu risinātājs

Kā atrisināt vienādojumu sistēmu ar šo rīku

1. Ierakstiet vienādojumus laukā Vienādojumi (viens katrā rindā), piemēram, 2x + 3y = 7 un x − y = 1. Nezināmie var būt jebkuri burti (x, y, z, a, b…) vai nosaukumi, piemēram, x1 un x2. Koeficienti var būt veseli skaitļi, decimāldaļskaitļi (0.5) vai daļas (1/2 vai (1/2)x), bet konstantes var atrasties abās pusēs: 3x + 4 = 2x − 1 darbojas.
2. Atbilde parādās rakstīšanas laikā. Atrisināt dara to pašu, Piemērs ielādē klasisku 3 × 3 sistēmu, Notīrīt iztukšo visu, bet Kopēt nokopē atrisinājumu.
3. Vēlaties tabulu? Atveriet Koeficientu režģis, izvēlieties Režģa izmērs (no 2 × 2 līdz 5 × 5) un aizpildiet koeficientus, konstantes ierakstot kolonnā aiz zīmes =. Tukša šūna tiek uzskatīta par 0. Režģis un vienādojumi paliek sinhronizēti.
4. Izlasiet rezultātu un paskaidrojumus zem tā: Gausa–Žordana eliminācija ar katru rindu operāciju un matricu pēc katras, Krāmera likums 2 × 2 un 3 × 3 sistēmām un Pārbaude sākotnējos vienādojumos.

Katrs aprēķins ir precīzs: rīks strādā ar daļām, nekad ar noapaļotiem decimāldaļskaitļiem, tāpēc 1/3 paliek 1/3. Blakus daļskaitļu atbildēm tiek rādīts decimālais tuvinājums.

Gausa eliminācija soli pa solim

Sistēma vispirms tiek uzrakstīta kā paplašinātā matrica: viena rinda katram vienādojumam, viena kolonna katram nezināmajam un konstantes aiz vertikālas līnijas. Trīs rindu operācijas maina matricu, nemainot atrisinājumus:

• apmainīt divas rindas (R₁ ↔ R₂);
• reizināt rindu ar skaitli, kas nav nulle (R₁ → R₁ ÷ 2);
• pieskaitīt citas rindas daudzkārtni (R₂ → R₂ − 3R₁).

Rīks strādā kolonnu pa kolonnai. Tas izvēlas vadošo elementu, dodot priekšroku vērtībai 1 vai −1, lai izvairītos no daļām, ieliek to vietā, daloti rindu tā, lai vadošais elements kļūtu par 1, un pēc tam nullē pārējo kolonnu visās citās rindās. Tas ir Gausa–Žordana variants: beigās matrica ir reducētā pakāpju veidā, un atrisinājumu var nolasīt tieši no pēdējās kolonnas.

Viens, neviens vai bezgalīgi daudz atrisinājumu

• Viens atrisinājums: katram nezināmajam ir vadošais elements. Rangs ir vienāds ar nezināmo skaitu.
• Nav atrisinājuma: rinda kļūst par 0 = 5 (nulles koeficienti, konstante nav nulle). Vienādojumi ir pretrunā; diviem nezināmajiem taisnes ir paralēlas.
• Bezgalīgi daudz atrisinājumu: dažiem nezināmajiem nav vadošā elementa. Tie kļūst par brīviem parametriem (t, s…), bet pārējie nezināmie tiek izteikti ar tiem, piemēram, x = 1 + t, y = 5 − 2t, z = t. Katra t vērtība dod vienu atrisinājumu.

Krāmera likums

Kvadrātiskai sistēmai Ax = b ar det(A) ≠ 0 katrs nezināmais ir vienāds ar det(Aᵢ) ÷ det(A), kur Aᵢ ir matrica A, kurā i. kolonna aizstāta ar konstantēm. Rīks parāda determinantus: ad − bc matricai 2 × 2 un izvērsumu pa pirmo rindu matricai 3 × 3. Ja det(A) = 0, likums nav piemērojams, un eliminācija parāda, vai atrisinājuma nav vai to ir bezgalīgi daudz. Lielākām sistēmām eliminācija ir daudz ātrāka, tāpēc Krāmera likums tiek rādīts tikai līdz 3 × 3.