abc-formule calculator – vierkantsvergelijking oplossen

Q: Wat gebeurt er als a = 0?

Dan is de vergelijking lineair, bx + c = 0, en lost de tool haar ook zo op: x = −c / b. Is b ook 0, dan is ofwel elk getal een oplossing c = 0 , ofwel is er geen oplossing c ≠ 0 .

Q: Waarom krijg ik een uitkomst met i?

De letter i is de imaginaire eenheid, met i² = −1. Die verschijnt als de discriminant negatief is: de parabool snijdt de x as nooit, dus er is geen reële oplossing, maar wel twee complexe.

Q: Kan ik decimalen of breuken als coëfficiënten invullen?

Ja. Typ 0,5, 1/3 of −2,25; de berekening blijft exact, omdat elke coëfficiënt eerst wordt omgezet in een breuk.

Q: Hoe nauwkeurig zijn de decimale waarden?

De exacte vorm is altijd juist. Decimale benaderingen worden afgerond op zeven significante cijfers, wat ruim voldoende is voor huiswerk en de meeste praktische toepassingen.

Q: Hoe vind ik de top van een parabool?

Gebruik h = −b / 2a en daarna k = f h , wat ook gelijk is aan −Δ / 4a . De tool toont beide formules met jouw getallen in de uitwerking stap voor stap.

Q: Telt een dubbele wortel één keer of twee keer?

Als oplossing van de vergelijking is het één waarde, die één keer getoond wordt. Als wortel van de veelterm heeft hij multipliciteit twee; daarom bevat de ontbonden vorm een kwadraat, zoals 2 x − 1 ².

Vierkantsvergelijking oplossen (abc-formule)

Los elke vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0 op met de abc-formule: discriminant, exacte wortels, complexe oplossingen, topvorm, ontbonden vorm en grafiek.

Vergelijking ax² + bx + c = 0

a b c

Gehele getallen, decimalen en breuken zoals 1/2 worden geaccepteerd. Een lege b of c telt als 0.

Voorbeelden

–

Uitwerking stap voor stap

Zo los je een vierkantsvergelijking op

Typ de drie coëfficiënten van ax² + bx + c = 0 in Coëfficiënt a, Coëfficiënt b en Coëfficiënt c. Gehele getallen, decimalen (2,5) en breuken zoals 1/2 worden geaccepteerd, en een lege b of c telt als 0.
Het antwoord wordt bijgewerkt terwijl je typt; Oplossen doet hetzelfde. Wissen maakt de drie vakken leeg en Kopiëren kopieert de vergelijking met de oplossingen.
Lees de Oplossingen: elke wortel staat er in exacte vorm, gevolgd door een decimale benadering als de exacte waarde geen kort decimaal getal is.
Daaronder geeft de tool de Discriminant Δ, de Top, de Symmetrieas, het Snijpunt met de y-as, of het een dal- of bergparabool is en de som en het product van de wortels. Daarna volgen de drie Vormen van de functie (standaardvorm, topvorm en ontbonden vorm) en een Grafiek van de parabool.
De Uitwerking stap voor stap herhaalt de hele berekening: discriminant, wortel uit Δ, abc-formule, beide wortels, top, ontbonden vorm en een controle.

Met de knoppen onder Voorbeelden laad je typische gevallen: twee gehele wortels, een dubbele wortel, complexe wortels en irrationale wortels.

De abc-formule en de discriminant

Een vierkantsvergelijking (ook kwadratische vergelijking genoemd) heeft de vorm ax² + bx + c = 0 met a ≠ 0. De oplossingen vind je met de abc-formule:

x = (−b ± √Δ) / (2a), met Δ = b² − 4ac

In Nederlandse en Vlaamse schoolboeken heet de discriminant meestal D; deze tool schrijft Δ, maar het is precies hetzelfde getal. De discriminant bepaalt alles:

Δ > 0: twee verschillende reële wortels. Is Δ een kwadraat (en zijn de coëfficiënten rationaal), dan zijn de wortels rationaal en valt de veelterm netjes te ontbinden, bijvoorbeeld x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Δ = 0: één dubbele wortel, x = −b / (2a). De parabool raakt de x-as in de top.
Δ < 0: geen reële wortel. De wortel uit een negatief getal is imaginair, √Δ = i√|Δ|, dus de wortels zijn twee complex toegevoegde getallen zoals −1 ± 2i.

Deze tool rekent met exacte breuken en verliest dus nooit precisie. Is √Δ geen geheel getal, dan vereenvoudigt hij de wortel (√32 = 4√2) en herleidt hij het resultaat: x² + 3x + 1 = 0 geeft x = (−3 ± √5)/2, en x² − 8 = 0 geeft x = ±2√2.

Topvorm, ontbonden vorm en grafiek

De topvorm a(x − h)² + k laat de top (h, k) direct zien, met h = −b / (2a) en k = −Δ / (4a). De lijn x = h is de symmetrieas: beide wortels liggen er even ver vandaan. Als a > 0 opent de parabool naar boven (dalparabool) en is k het minimum; als a < 0 opent hij naar beneden (bergparabool) en is k het maximum.

De ontbonden vorm a(x − x₁)(x − x₂) gebruikt de wortels. Bij rationale wortels schrijft de tool factoren met gehele getallen, bijvoorbeeld 2x² − x − 1 = (2x + 1)(x − 1). Als Δ < 0 is de veelterm niet te ontbinden over de reële getallen; de tool meldt dat voordat hij de complexe factoren toont.

De grafiek wordt op schaal getekend rond de top en de wortels. Blauwe punten markeren de reële wortels, het oranje punt de top en de stippellijn de symmetrieas.

Als laatste controle past de tool de formules van Vieta toe: x₁ + x₂ = −b/a en x₁ × x₂ = c/a.

Veelgestelde vragen

Wat gebeurt er als a = 0?

Dan is de vergelijking lineair, bx + c = 0, en lost de tool haar ook zo op: x = −c / b. Is b ook 0, dan is ofwel elk getal een oplossing (c = 0), ofwel is er geen oplossing (c ≠ 0).

Waarom krijg ik een uitkomst met i?

De letter i is de imaginaire eenheid, met i² = −1. Die verschijnt als de discriminant negatief is: de parabool snijdt de x-as nooit, dus er is geen reële oplossing, maar wel twee complexe.

Kan ik decimalen of breuken als coëfficiënten invullen?

Ja. Typ 0,5, 1/3 of −2,25; de berekening blijft exact, omdat elke coëfficiënt eerst wordt omgezet in een breuk.

Hoe nauwkeurig zijn de decimale waarden?

De exacte vorm is altijd juist. Decimale benaderingen worden afgerond op zeven significante cijfers, wat ruim voldoende is voor huiswerk en de meeste praktische toepassingen.

Hoe vind ik de top van een parabool?

Gebruik h = −b / (2a) en daarna k = f(h), wat ook gelijk is aan −Δ / (4a). De tool toont beide formules met jouw getallen in de uitwerking stap voor stap.

Telt een dubbele wortel één keer of twee keer?

Als oplossing van de vergelijking is het één waarde, die één keer getoond wordt. Als wortel van de veelterm heeft hij multipliciteit twee; daarom bevat de ontbonden vorm een kwadraat, zoals 2(x − 1)².