Matrix rekenmachine

Zo gebruik je de matrix rekenmachine

1. Kies een Bewerking: A + B (optellen), A − B (aftrekken), A × B (vermenigvuldigen), k × A (scalair veelvoud), Getransponeerde van A, Determinant van A, Inverse van A, Rang van A, Gereduceerde rij-echelonvorm (RREF) van A, Macht Aⁿ, Eigenwaarden van A, of het inproduct en uitproduct van twee vectoren.
2. Stel de grootte van Matrix A in met Rijen en Kolommen (van 1 tot 6) en typ de elementen in het raster. Gehele getallen, decimalen zoals 2,5 en breuken zoals -3/4 zijn toegestaan, en een lege cel telt als 0. Matrix B verschijnt alleen bij bewerkingen die hem nodig hebben.
3. Wil je niet cel voor cel typen, open dan Typen of plakken als tekst, plak de rijen (uit een spreadsheet, een document of een lijst als [[1, 2], [3, 4]]) en klik op Raster invullen.
4. Het resultaat wordt bijgewerkt terwijl je typt; Berekenen doet hetzelfde. A en B verwisselen wisselt de twee matrices om, Voorbeeld laadt een voorbeeld van 3 × 3 en Wissen maakt beide rasters leeg.
5. Lees het resultaat en open daaronder de lijst Stap voor stap om de uitwerking te volgen. Decimalen tonen schakelt de weergave van breuken naar decimalen, met Resultaat gebruiken als A kun je bewerkingen aan elkaar rijgen (bijvoorbeeld eerst inverteren en dan vermenigvuldigen), en Kopiëren kopieert het resultaat als rijen gescheiden door tabs, die je in een spreadsheet kunt plakken.

Alle berekeningen gebeuren met exacte breuken, nooit met afgeronde zwevendekommagetallen. De inverse van [[4, 7], [2, 6]] wordt getoond als [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], niet als 0,6000000001.

Wat elke bewerking doet

• Optellen en aftrekken gaan element voor element en vereisen twee matrices van dezelfde grootte.
• Vermenigvuldigen A × B vereist dat A evenveel kolommen heeft als B rijen: een matrix van m × n keer een matrix van n × p geeft een matrix van m × p. Elk element is een rij van A keer een kolom van B, en de stappen schrijven elk van die sommen uit, zoals c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Onthoud dat A × B en B × A meestal verschillen.
• Determinant: bij 2 × 2 geldt ad − bc, bij 3 × 3 wordt ontwikkeld naar cofactoren langs de eerste rij (met elke minor erbij), en grotere matrices worden met rijoperaties naar driehoeksvorm gebracht. De determinant is dan het product van de diagonaal, met één tekenwissel per rijverwisseling.
• Inverse: Gauss-Jordaneliminatie (vegen) op de uitgebreide matrix [A | I]. Elke stap noemt de rijoperaties, zoals R2 → R2 − 3R1, met de matrix erna. Wordt het linkerblok de eenheidsmatrix, dan is het rechterblok A⁻¹. Ontbreekt er een spil, dan is de matrix singulier en heeft hij geen inverse.
• Rang en RREF: dezelfde eliminatie op A alleen. De rang is het aantal spillen, en de stappen zeggen in welke kolommen ze staan.
• Macht Aⁿ gebruikt herhaald kwadrateren, zodat A¹⁰⁰ maar een handvol vermenigvuldigingen kost. A⁰ is de eenheidsmatrix en negatieve exponenten gebruiken de inverse.
• Inproduct en uitproduct behandelen één rij of één kolom als vector. Het uitproduct vereist 3 componenten.

Eigenwaarden: exact en benaderd

De tool berekent eerst exact de karakteristieke veelterm det(λI − A), met de methode van Faddeev-LeVerrier. Bij een matrix van 2 × 2 komen de eigenwaarden uit de abc-formule en blijven ze exact, ook met wortels en complexe waarden: [[1, 1], [1, 0]] geeft 1/2 ± √5/2. Bij matrices van 3 × 3 en groter worden de wortels numeriek gevonden met het QR-algoritme met shift. Elke wortel die een eenvoudige breuk is, wordt daarna exact in de veelterm gecontroleerd en zonder ≈-teken getoond. De andere zijn benaderingen, nauwkeurig tot ongeveer 8 significante cijfers, en krijgen een ≈. Eigenvectoren worden niet berekend.