Matrixberegner

Sådan bruger du matrixberegneren

1. Vælg en Regneart: A + B (addition), A − B (subtraktion), A × B (multiplikation), k × A (skalarmultiplum), Transponeret af A, Determinant af A, Invers af A, Rang af A, Reduceret trappeform (RREF) af A, Potens Aⁿ, Egenværdier af A eller skalar- og krydsprodukt af to vektorer.
2. Indstil størrelsen på Matrix A med Rækker og Søjler (fra 1 til 6), og indtast derefter elementerne i tabellen. Hele tal, decimaltal som 2,5 og brøker som -3/4 accepteres, og en tom celle tæller som 0. Matrix B vises kun ved de regnearter, der har brug for den.
3. For at slippe for at skrive celle for celle åbner du Skriv eller indsæt som tekst, indsætter rækkerne (fra et regneark, et dokument eller en liste som [[1, 2], [3, 4]]) og trykker på Udfyld tabellen.
4. Resultatet opdateres, mens du skriver; Beregn gør det samme. Byt A og B bytter de to matricer, Eksempel indlæser et 3 × 3-eksempel, og Ryd tømmer begge tabeller.
5. Aflæs resultatet, og åbn derefter listen Trin for trin under det for at følge udregningen. Vis decimaltal skifter visningen fra brøker til decimaltal, Brug resultatet som A lader dig kæde regnearter sammen (for eksempel invertere og derefter gange), og Kopiér kopierer resultatet som tabulatoradskilte rækker, du kan indsætte i et regneark.

Al aritmetik udføres med eksakte brøker og aldrig med afrundede flydende tal. Den inverse af [[4, 7], [2, 6]] vises som [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]] og ikke som 0,6000000001.

Hvad hver regneart gør

• Addition og subtraktion sker element for element og kræver to matricer af samme størrelse.
• Multiplikation A × B kræver lige så mange søjler i A som rækker i B: en m × n-matrix gange en n × p-matrix giver en m × p-matrix. Hvert element er en række i A gange en søjle i B, og trinene skriver hver af disse summer ud, for eksempel c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Husk, at A × B og B × A som regel er forskellige.
• Determinant: 2 × 2-matricer bruger ad − bc, 3 × 3-matricer bruger kofaktorudvikling efter første række (med hver minor vist), og større matricer reduceres til trekantform med rækkeoperationer. Determinanten er så produktet af diagonalen, med ét fortegnsskift for hvert rækkebyt.
• Invers: Gauss–Jordan-elimination på den udvidede matrix [A | I]. Hvert trin angiver rækkeoperationerne, som R2 → R2 − 3R1, med matricen efter dem. Når den venstre blok bliver til enhedsmatricen, er den højre blok A⁻¹. Hvis et pivotelement mangler, er matricen singulær og har ingen invers.
• Rang og RREF: den samme elimination på A alene. Rangen er antallet af pivotelementer, og trinene siger, hvilke søjler de står i.
• Potens Aⁿ bruger gentagen kvadrering, så A¹⁰⁰ kun kræver en håndfuld multiplikationer. A⁰ er enhedsmatricen, og negative eksponenter bruger den inverse.
• Skalar- og krydsprodukt behandler en enkelt række eller en enkelt søjle som en vektor. Krydsproduktet kræver 3 koordinater.

Egenværdier: eksakte og tilnærmede

Værktøjet beregner først det karakteristiske polynomium det(λI − A) eksakt med Faddeev–LeVerriers metode. For en 2 × 2-matrix kommer egenværdierne fra andengradsformlen og forbliver eksakte, også med kvadratrødder og komplekse værdier: [[1, 1], [1, 0]] giver 1/2 ± √5/2. For 3 × 3-matricer og større findes rødderne numerisk med den forskudte QR-algoritme. Enhver rod, der er en enkel brøk, kontrolleres derefter eksakt i polynomiet og vises uden tegnet ≈. De øvrige er tilnærmelser, nøjagtige til cirka 8 betydende cifre, og er markeret med ≈. Egenvektorer beregnes ikke.

Alt regnes lokalt i din browser. Intet, du indtaster, sendes til en server.