Kalkulator matrik

Kako uporabljati kalkulator matrik

1. Izberi Operacija: A + B (seštevanje), A − B (odštevanje), A × B (množenje), k × A (večkratnik s skalarjem), Transponiranka matrike A, Determinanta matrike A, Inverz matrike A, Rang matrike A, Reducirana vrstična stopničasta oblika (RREF) matrike A, Potenca Aⁿ, Lastne vrednosti matrike A ali skalarni in vektorski produkt dveh vektorjev.
2. Velikost Matrika A nastavi z Vrstice in Stolpci (od 1 do 6), nato vpiši elemente v mrežo. Sprejeta so cela števila, decimalke, kot je 2,5, in ulomki, kot je -3/4, prazna celica pa šteje kot 0. Matrika B se prikaže le pri operacijah, ki jo potrebujejo.
3. Če nočeš vpisovati celico za celico, odpri Vpiši ali prilepi kot besedilo, prilepi vrstice (iz preglednice, dokumenta ali seznama [[1, 2], [3, 4]]) in pritisni Izpolni mrežo.
4. Rezultat se posodablja med tipkanjem; Izračunaj naredi isto. Zamenjaj A in B zamenja matriki, Primer naloži primer 3 × 3, Počisti pa izprazni obe mreži.
5. Preberi rezultat, nato odpri seznam Korak za korakom pod njim, da slediš postopku. Pokaži decimalke preklopi prikaz z ulomkov na decimalke, Uporabi rezultat kot A omogoča veriženje operacij (na primer najprej inverz, nato množenje), Kopiraj pa skopira rezultat kot vrstice, ločene s tabulatorji, ki jih lahko prilepiš v preglednico.

Vsa aritmetika poteka z natančnimi ulomki, nikoli z zaokroženimi števili s plavajočo vejico. Inverz matrike [[4, 7], [2, 6]] je prikazan kot [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], ne kot 0,6000000001.

V slovenščini je vejica decimalna, zato pri besedilnem vnosu elemente ločuj s presledki ali tabulatorji; znotraj oglatih oklepajev vejice vedno ločujejo elemente.

Kaj počne posamezna operacija

• Seštevanje in odštevanje potekata element za elementom in potrebujeta dve matriki enake velikosti.
• Množenje A × B potrebuje toliko stolpcev v A, kolikor je vrstic v B: matrika m × n krat matrika n × p da matriko m × p. Vsak element je vrstica matrike A krat stolpec matrike B, koraki pa izpišejo vsako od teh vsot, na primer c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Ne pozabi, da sta A × B in B × A običajno različna.
• Determinanta: matrike 2 × 2 uporabljajo ad − bc, matrike 3 × 3 razvoj po kofaktorjih po prvi vrstici (vsak minor je prikazan), večje matrike pa se z vrstičnimi operacijami reducirajo na trikotno obliko. Determinanta je nato zmnožek diagonale, s spremembo predznaka ob vsaki zamenjavi vrstic.
• Inverz: Gauss–Jordanova eliminacija na razširjeni matriki [A | I]. Vsak korak našteje vrstične operacije, kot je V2 → V2 − 3V1, z matriko po njih. Ko levi blok postane enotska matrika, je desni blok A⁻¹. Če pivot manjka, je matrika singularna in nima inverza.
• Rang in RREF: ista eliminacija samo na A. Rang je število pivotov, koraki pa povedo, v katerih stolpcih so.
• Potenca Aⁿ uporablja ponavljajoče kvadriranje, zato A¹⁰⁰ zahteva le peščico množenj. A⁰ je enotska matrika, negativni eksponenti pa uporabljajo inverz.
• Skalarni in vektorski produkt obravnavata eno samo vrstico ali en sam stolpec kot vektor. Vektorski produkt potrebuje 3 komponente.

Lastne vrednosti: natančne in približne

Orodje najprej natančno izračuna karakteristični polinom det(λI − A) z metodo Faddeeva in Le Verrierja. Pri matriki 2 × 2 lastne vrednosti izhajajo iz obrazca za kvadratno enačbo in ostanejo natančne, vključno s kvadratnimi koreni in kompleksnimi vrednostmi: [[1, 1], [1, 0]] da 1/2 ± √5/2. Pri matrikah 3 × 3 in večjih so ničle najdene numerično s premaknjenim algoritmom QR. Vsaka ničla, ki je preprost ulomek, je nato natančno preverjena v polinomu in prikazana brez znaka ≈. Druge so približki, natančni na približno 8 pomembnih mest, in so označene z ≈. Lastni vektorji se ne računajo.