Calcolatrice di matrici

Come usare la calcolatrice di matrici

1. Scegli un’Operazione: A + B (somma), A − B (differenza), A × B (prodotto righe per colonne), k × A (prodotto per uno scalare), Trasposta di A, Determinante di A, Inversa di A, Rango di A, Forma a scala ridotta (RREF) di A, Potenza Aⁿ, Autovalori di A, oppure il prodotto scalare e il prodotto vettoriale di due vettori.
2. Imposta le dimensioni della Matrice A con Righe e Colonne (da 1 a 6), poi scrivi gli elementi nella griglia. Sono accettati interi, decimali come 2,5 e frazioni come -3/4, e una cella vuota vale 0. La Matrice B compare solo per le operazioni che la richiedono.
3. Per non scrivere cella per cella, apri Scrivi o incolla come testo, incolla le righe (da un foglio di calcolo, da un documento o da un elenco [[1, 2], [3, 4]]) e premi Riempi la griglia.
4. Il risultato si aggiorna mentre scrivi; Calcola fa la stessa cosa. Scambia A e B inverte le due matrici, Esempio carica un esempio 3 × 3 e Cancella svuota entrambe le griglie.
5. Leggi il risultato, poi apri l’elenco Passo dopo passo qui sotto per seguire i calcoli. Mostra i decimali passa dalla visualizzazione in frazioni a quella decimale, Usa il risultato come A ti permette di concatenare le operazioni (ad esempio invertire e poi moltiplicare) e Copia copia il risultato come righe separate da tabulazioni, da incollare in un foglio di calcolo.

Tutti i calcoli usano frazioni esatte, mai numeri in virgola mobile arrotondati. L’inversa di [[4, 7], [2, 6]] è mostrata come [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], non come 0,6000000001.

Che cosa fa ogni operazione

• Somma e differenza si fanno elemento per elemento e richiedono due matrici delle stesse dimensioni.
• Prodotto A × B: il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B. Una matrice m × n per una n × p dà una matrice m × p. Ogni elemento è una riga di A per una colonna di B, e i passaggi scrivono ognuna di queste somme, ad esempio c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Ricorda che A × B e B × A di solito sono diversi.
• Determinante: per le matrici 2 × 2 si usa ad − bc, per le 3 × 3 lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga (con ogni minore mostrato), mentre le matrici più grandi vengono ridotte a forma triangolare con operazioni sulle righe. Il determinante è allora il prodotto della diagonale, con un cambio di segno per ogni scambio di righe.
• Inversa: eliminazione di Gauss–Jordan sulla matrice affiancata [A | I]. Ogni passaggio elenca le operazioni sulle righe, come R2 → R2 − 3R1, con la matrice ottenuta. Quando il blocco di sinistra diventa la matrice identità, il blocco di destra è A⁻¹. Se manca un pivot, la matrice è singolare e non ha inversa.
• Rango e forma a scala ridotta: la stessa eliminazione sulla sola A. Il rango è il numero di pivot, e i passaggi indicano in quali colonne si trovano.
• Potenza Aⁿ: usa i quadrati successivi, quindi A¹⁰⁰ richiede solo poche moltiplicazioni. A⁰ è la matrice identità e gli esponenti negativi usano l’inversa.
• Prodotto scalare e prodotto vettoriale trattano una sola riga o una sola colonna come un vettore. Il prodotto vettoriale richiede 3 componenti.

Autovalori: esatti e approssimati

Lo strumento calcola prima in modo esatto il polinomio caratteristico det(λI − A), con il metodo di Faddeev–LeVerrier. Per una matrice 2 × 2 gli autovalori si ricavano dalla formula risolutiva dell’equazione di secondo grado e restano esatti, anche con radici quadrate e valori complessi: [[1, 1], [1, 0]] dà 1/2 ± √5/2. Per le matrici 3 × 3 e più grandi, le radici sono trovate numericamente con l’algoritmo QR con shift. Ogni radice che è una frazione semplice viene poi verificata in modo esatto nel polinomio e mostrata senza il segno ≈. Le altre sono approssimazioni, precise a circa 8 cifre significative, e sono indicate con ≈. Gli autovettori non vengono calcolati.