Kalkulator Matriks

Cara memakai kalkulator matriks

1. Pilih Operasi: A + B (penjumlahan), A − B (pengurangan), A × B (perkalian), k × A (kelipatan skalar), Transpos dari A, Determinan dari A, Invers dari A, Rank dari A, Bentuk eselon baris tereduksi (RREF) dari A, Pangkat Aⁿ, Nilai eigen dari A, atau hasil kali titik dan silang dua vektor.
2. Atur ukuran Matriks A dengan Baris dan Kolom (dari 1 sampai 6), lalu ketik entri pada tabel. Bilangan bulat, desimal seperti 2,5, dan pecahan seperti -3/4 diterima, dan sel kosong dihitung 0. Matriks B hanya muncul untuk operasi yang memerlukannya.
3. Agar tidak mengetik sel demi sel, buka Ketik atau tempel sebagai teks, tempel baris-barisnya (dari spreadsheet, dokumen, atau daftar [[1 2] [3 4]]) lalu tekan Isi tabel. Entri dipisahkan spasi atau tab; karena koma adalah tanda desimal, pisahkan baris dengan baris baru atau titik koma.
4. Hasil diperbarui saat Anda mengetik; Hitung melakukan hal yang sama. Tukar A dan B menukar kedua matriks, Contoh memuat contoh 3 × 3, dan Hapus mengosongkan kedua tabel.
5. Baca hasilnya, lalu buka daftar Langkah demi langkah di bawahnya untuk mengikuti pengerjaannya. Tampilkan desimal mengubah tampilan dari pecahan ke desimal, Pakai hasil sebagai A memungkinkan Anda merangkai operasi (misalnya, mencari invers lalu mengalikan), dan Salin menyalin hasil sebagai baris yang dipisahkan tab sehingga bisa ditempel ke spreadsheet.

Semua aritmetika dikerjakan dengan pecahan eksak, bukan bilangan floating-point yang dibulatkan. Invers dari [[4, 7], [2, 6]] ditampilkan sebagai [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]], bukan 0,6000000001.

Apa yang dilakukan setiap operasi

• Penjumlahan dan pengurangan dilakukan entri demi entri dan memerlukan dua matriks berukuran sama.
• Perkalian A × B memerlukan kolom A sebanyak baris B: matriks m × n dikali matriks n × p menghasilkan matriks m × p. Setiap entri adalah satu baris A dikali satu kolom B, dan langkah-langkahnya menuliskan setiap jumlah itu, seperti c₁₁ = 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Ingat bahwa A × B dan B × A biasanya berbeda.
• Determinan: matriks 2 × 2 memakai ad − bc, matriks 3 × 3 memakai ekspansi kofaktor menurut baris pertama (dengan setiap minor ditampilkan), dan matriks yang lebih besar direduksi menjadi bentuk segitiga dengan operasi baris. Determinannya kemudian adalah hasil kali diagonal, dengan satu perubahan tanda untuk setiap pertukaran baris.
• Invers: eliminasi Gauss–Jordan pada matriks yang diperbesar [A | I]. Setiap langkah mencantumkan operasi barisnya, seperti B2 → B2 − 3B1, beserta matriks sesudahnya. Ketika blok kiri menjadi identitas, blok kanan adalah A⁻¹. Jika ada pivot yang hilang, matriks itu singular dan tidak memiliki invers.
• Rank dan RREF: eliminasi yang sama pada A saja. Rank adalah banyaknya pivot, dan langkah-langkahnya menyebutkan kolom mana yang memuatnya.
• Pangkat Aⁿ memakai pengkuadratan berulang, sehingga A¹⁰⁰ hanya memerlukan beberapa perkalian. A⁰ adalah identitas dan pangkat negatif memakai invers.
• Hasil kali titik dan silang memperlakukan satu baris atau satu kolom sebagai vektor. Hasil kali silang memerlukan 3 komponen.

Nilai eigen: eksak dan pendekatan

Alat ini lebih dulu menghitung polinomial karakteristik det(λI − A) secara eksak, dengan metode Faddeev–LeVerrier. Untuk matriks 2 × 2, nilai eigen berasal dari rumus kuadrat dan tetap eksak, termasuk akar kuadrat dan nilai kompleks: [[1, 1], [1, 0]] menghasilkan 1/2 ± √5/2. Untuk matriks 3 × 3 dan yang lebih besar, akar-akarnya dicari secara numerik dengan algoritma QR bergeser. Akar yang berupa pecahan sederhana kemudian dipastikan secara eksak pada polinomialnya dan ditampilkan tanpa tanda ≈. Sisanya adalah pendekatan, akurat sampai sekitar 8 angka signifikan, dan ditandai ≈. Vektor eigen tidak dihitung.